§1-1 材料力学的任务

材料力学到底研究什么🤔 问AI

打个比方：盖房子之前，工程师得先回答三个问题——这根柱子会不会被压断？这根梁会不会被压得弯下去影响使用？这根细长杆会不会突然"软腿"歪倒？材料力学就是专门回答这三个问题的学问。

结构物和机械都要承受各种外力（如风压力、吊车的重力、钢坯变形的阻力等），这些力统称为荷载。组成结构物和机械的单个组成部分，统称为构件。为保证整个结构或机械正常工作，每一构件都必须正常工作，由此对构件提出三点要求，也就是材料力学的三大任务：

书中给的例子很形象：机床主轴若因荷载过大而断裂，机床就废了（强度不够）；主轴若虽不断但变形过大，则影响加工精度（刚度不够）；房屋中受压的细长柱，当压力超过一定限度后就可能显著变弯甚至导致房屋倒塌（稳定性不够）。

设计构件时，不仅要满足强度、刚度、稳定性，还要尽量合理选材、降低材料消耗（省钱、减轻自重）。"多用材料保安全"和"少用材料省成本"是一对矛盾，材料力学的任务就是合理解决这个矛盾。

📖 P1

力学性能与"试验+理论"两条腿🤔 问AI

强度、刚度、稳定性问题都与材料的力学性能有关（力学性能：指外力作用下材料变形与所受外力之间的关系，以及材料抵抗变形与破坏的能力）。这些力学性能都要通过材料试验来测定。所以材料力学里试验研究和理论分析同样重要，缺一不可。

📖 P2

§2-1 轴向拉伸和压缩的概念

什么是拉（压）杆🤔 问AI

打个比方：你两只手抓住一根橡皮筋的两头往外拉，橡皮筋被拉长——这就是轴向拉伸；反过来两头往里挤，它缩短——这就是轴向压缩。关键是：两个力都顺着杆的"中心线"（轴线）使劲，不偏不歪。

工程里很多构件就是这样受力的，比如钢木桁架里的钢拉杆、万能试验机的立柱等。这类构件除连接部分外都是等直杆，作用在杆上的外力（或外力的合力）的作用线与杆轴线重合，简称为拉（压）杆。

它的三个特征要记牢：

• 几何特征：等直杆（粗细一样的直杆）。
• 受力特征：杆两端各受一个集中力 F，两个 F 大小相等、指向相反，且作用线与杆轴线重合。
• 变形特征：杆发生纵向伸长或缩短。

📖 P9

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§2-2 内力·截面法·轴力及轴力图

1. 什么是内力🤔 问AI

比喻：一根绳子没人拉的时候，内部各部分"安安静静"。一旦你两头使劲拉，绳子内部各部分之间就要"互相拽住"才不散架——这个因为外力而额外增加的、物体内部相邻部分之间的相互作用力，就是材料力学研究的内力。

注意：内力不是凭空有的，是外力作用引起的。由于假设物体是均匀连续的可变形固体，内部相邻部分之间其实是一片连续分布的内力系，我们把这一分布内力系的合成（合力或合力偶）简称为内力。

📖 P9

2. 截面法——求内力的看家本领🤔 问AI

比喻：你想知道一根火腿肠中间那一刀的横截面"里头是什么"，最直接的办法就是——一刀切开，露出截面，看里面。截面法干的就是这事：想看哪个截面的内力，就假想在那里切一刀。

截面法是求内力的一般方法，分三步（口诀：截开 → 代替 → 平衡）：

1. 截开：在需求内力的截面处，假想地把杆截成两部分。
2. 代替：留下任一部分，把弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上的内力（力或力偶）代替。
3. 平衡：对留下部分列平衡方程，由其上已知外力算出截开面上的未知内力。

⚠️ 要点：截开面上的内力，对留下部分而言已经属于"外力"了。

3. 轴力 $F_N$ 及其正负号🤔 问AI

对拉（压）杆切一刀后，由平衡方程 \sum F_x=0，F_N-F=0，得

这个内力 F_N 的作用线与杆轴线重合（即垂直于横截面并通过其形心），称为轴力，用记号 F_N 表示。

正负号规定（联系变形来记，非常重要）：

• 引起杆纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力（拉力背离截面，箭头朝外）。
• 引起杆纵向缩短变形的轴力为负，称为压力（压力指向截面，箭头朝内）。

记忆口诀："拉为正、压为负；拉离开、压指向"。判正负不靠你假设的方向，靠它让杆变长还是变短。

📖 P10

4. 轴力图🤔 问AI

比喻：一根杆受了好几个力，不同位置的"内力大小"不一样。轴力图就是给杆做一张"内力分布的体检报告"——横坐标是杆上位置，纵坐标是该处的轴力值，一眼就能看出哪儿内力最大、最大是多少。

当杆受多个轴向外力作用时，不同横截面上的轴力各不相同。用平行于杆轴线的坐标表示横截面位置，用垂直于杆轴线的坐标表示该截面轴力的数值，画出的图线称为轴力图。习惯上：正值（拉力）画在上侧，负值（压力）画在下侧。最大轴力所在截面叫危险截面（之一）。

例题2-1（教材范例，必看）：等直杆受 F_1=40 kN、F_2=55 kN、F_3=25 kN、F_4=20 kN 作用。

• 先由整体平衡 \sum F_x=0 求支反力：-F_R-F_1+F_2-F_3+F_4=0，得 F_R=10 kN。
• 用截面法分段求轴力（哪段外力少就取哪段算更省事）：
• AB 段：F_{N1}=F_R=10 kN（拉）
• BC 段：F_{N2}=F_R+F_1=50 kN（拉）
• CD 段：取右段，-F_{N3}-F_3+F_4=0，得 F_{N3}=-5 kN（负 → 压力）
• DE 段：F_{N4}=F_4=20 kN（拉）
• 画出轴力图后可见，最大轴力 F_{N,max}=50 kN，发生在 BC 段。

📖 P11

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§2-3 应力·拉（压）杆内的应力

为什么光知道轴力还不够？比喻：同样是 50 kN 的轴力，作用在一根筷子上 vs 作用在一根大梁上，筷子早断了，大梁纹丝不动。所以判断会不会破坏，不能只看"内力总量"，还要看内力在截面上挤得多密——这就是应力。

1. 应力的概念🤔 问AI

杆件截面上内力的分布集度（单位面积上的内力），称为应力。

在截面 m-m 上 M 点周围取微小面积 \Delta A，其上分布内力的合力为 \Delta F，则平均应力 p_m=\frac{\Delta F}{\Delta A}。令 \Delta A\to 0 取极限，得 M 点处的总应力

总应力 p 是矢量，方向一般既不垂直也不相切于截面，于是把它分解成两个分量：

• 与截面垂直的法向分量 \sigma，称为正应力；
• 与截面相切的切向分量 \tau，称为切应力。

比喻：\sigma 是"垂直往外顶/往里压"的劲，\tau 是"沿着面错动/搓"的劲。

应力的单位是 Pa（1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2）。工程中常用 MPa（1\ \text{MPa}=10^6\ \text{Pa}）。

📖 P13、P14

2. 拉（压）杆横截面上的正应力 σ=Fₙ/A（核心公式）🤔 问AI

推导思路（宝宝版）：在杆侧面画两条横线 ab、cd，拉一拉发现两条线只是平移了，仍是直线、仍互相平行——说明原来的平面横截面变形后还是平面（叫平面假设）。既然两横截面之间各纵向纤维伸长一样多，材料又均匀，那横截面上各点正应力相等（均匀分布）。

由静力学关系 F_N=\int_A \sigma\,\mathrm{d}A=\sigma\int_A \mathrm{d}A=\sigma A，即得拉（压）杆横截面上正应力的计算公式：

式中 F_N 为轴力，A 为杆的横截面面积。正应力的正负号与轴力一致（拉为正、压为负）。

⚠️ σ=Fₙ/A 的适用条件（真题高频考点，必背）：

• 公式是基于"正应力在横截面上各点相等"导出的，这要求外力（合力）作用线与杆轴线重合（即真正的轴向拉压），这样应力才均匀分布。
• 由圣维南原理：力作用于杆端方式的不同，只在距杆端不大于杆横向尺寸的范围内有影响，远离杆端处应力分布均匀，公式成立。

当受几个轴向外力时，由轴力图求出最大轴力 F_{N,max}，代入得杆内最大正应力：

最大轴力所在横截面称为危险截面，其上的正应力称为最大工作应力。

📖 P15

3. 拉（压）杆斜截面上的应力（斜截面应力，真题考点）🤔 问AI

为什么要研究斜着切的面？比喻：低碳钢拉伸到屈服时，表面会冒出与轴线约成 45° 的"滑移线"——说明破坏不一定发生在横截面上，斜面上的应力也很关键。

研究与横截面成 \alpha 角的斜截面 k-k。设横截面（\alpha=0）上的正应力为 \sigma_0=\frac{F}{A}。斜截面面积 A_\alpha=\frac{A}{\cos\alpha}，可推得斜截面上的总应力 p_\alpha=\sigma_0\cos\alpha，再分解为：

• 斜截面上的正应力：\sigma_\alpha=\sigma_0\cos^2\alpha\qquad(2\text{-}d)
• 斜截面上的切应力：\tau_\alpha=\frac{\sigma_0}{2}\sin 2\alpha\qquad(2\text{-}e)

关键结论（记结论即可应付选择/判断）：

• 当 \alpha=0（横截面）时，\sigma_\alpha=\sigma_0 取最大值——最大正应力在横截面上。
• 当 \alpha=45^\circ 时，\tau_\alpha=\frac{\sigma_0}{2} 取最大值——最大切应力在 45° 斜截面上，等于最大正应力的一半。

所以：斜截面上既有正应力，又有切应力（横截面上则只有正应力，切应力为零）。

📖 P17、P18

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§2-4 拉（压）杆的变形·胡克定律

这一节回答："杆被拉了，到底变长多少？"——是真题里最常考的计算题考点。

1. 线应变 ε🤔 问AI

设杆原长为 l，受拉后伸长到 l_1，则纵向伸长

\Delta l 只反映总变形，不能说明"变形程度"。每单位长度的伸长（或缩短）称为线应变，用 \varepsilon 表示：

比喻：一根 1 米的杆伸长 1 mm，和一根 100 米的杆伸长 1 mm，"被拉的厉害程度"完全不同。\varepsilon 就是"每米伸长多少"，是个无量纲的比值，专门衡量这个程度。伸长 \varepsilon 为正，缩短为负。

📖 P19

2. 胡克定律 Δl=Fₙl/EA（核心计算公式）🤔 问AI

实验证明：当杆内应力不超过材料的某一极限值（比例极限）时，伸长 \Delta l 与轴力 F_N（或外力 F）、原长 l 成正比，与横截面面积 A 成反比。引入比例常数 E，得胡克定律：

• E 称为弹性模量，单位 Pa（工程常用 GPa，1\ \text{GPa}=10^9\ \text{Pa}）。它由实验测定、随材料而异，表征材料抵抗弹性变形的能力。E 越大，同样受力下变形越小（越"硬"、越不容易变形）。例如钢 E\approx 200\sim 210 GPa，铝合金 E\approx 71 GPa。
• EA 称为杆的拉伸（压缩）刚度。长度相同、受力相同的杆，EA 越大变形越小。

比喻：E 就像材料的"倔脾气指数"——脾气越倔（E 越大），你越难把它拉变形。钢比铝倔得多，所以同样受力、同样粗细，铝杆伸长更多。

把公式改写：\frac{\Delta l}{l}=\frac{1}{E}\cdot\frac{F_N}{A}，注意 \frac{\Delta l}{l}=\varepsilon、\frac{F_N}{A}=\sigma，得胡克定律的另一形式：

即"应力 = 弹性模量 × 应变"。这个形式适用于所有单轴应力状态。

📖 P20、P21

3. 横向变形·泊松比 ν🤔 问AI

比喻：你把一块橡皮泥往两头拉长，它在变长的同时，中间会变细——纵向伸长，横向就缩短，这是一起发生的。

设圆杆原直径 d，受拉后缩小为 d_1，则横向变形 \Delta d=d_1-d，横向线应变

实验指出：应力不超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变的绝对值之比为常数，称为横向变形因数或泊松比，用 \nu 表示：

考虑到纵、横线应变正负号恒相反，有

\nu 是无量纲量，是材料的弹性常数（如钢 \nu\approx 0.24\sim 0.30，铝合金 \nu\approx 0.33）。\nu 越大，同样纵向伸长下横向收缩越明显。

横向变形量算法：\Delta d=\varepsilon'\cdot d=-\nu\varepsilon\cdot d。

📖 P20、P21

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§2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能（基础概念）

本节核心：把一根低碳钢试样夹在试验机上慢慢拉，看它怎么从"拉一下就弹回来"一步步走到"拉断"。真题考过低碳钢屈服，必须搞清四个阶段和几个极限应力。实验细节不展开。

1. 低碳钢拉伸的四个阶段（核心图，必背）🤔 问AI

把万能试验机画出的"荷载 F - 伸长 \Delta l"曲线，纵坐标除以原面积 A（得 \sigma）、横坐标除以原长 l（得 \varepsilon），就得到与试样尺寸无关的应力-应变曲线（\sigma-\varepsilon 曲线）。低碳钢的拉伸全过程分四个阶段：

📖 P29、P30

2. 几个特征应力（在 σ-ε 曲线上对号入座）🤔 问AI

• 比例极限 \sigma_p（A 点）：应力与应变成正比（符合胡克定律）的最高限。
• 弹性极限 \sigma_e（B 点）：卸载后不发生塑性变形的最高限。\sigma_p 与 \sigma_e 数值很接近、实测难区分，工程上常不区分，统称弹性极限；应力在此之下统称线弹性范围。
• 屈服极限（屈服强度）\sigma_s：屈服阶段中，把较稳定的下屈服强度（D 点）作为屈服极限。这是衡量材料强度的重要指标之一。
• 强度极限（抗拉强度）\sigma_b（G 点）：强化阶段名义应力的最大值，是衡量材料强度的另一重要指标。

对低碳钢 Q235：\sigma_s=220\sim 240 MPa，\sigma_b=380\sim 470 MPa。

3. 衡量塑性的两个指标🤔 问AI

• 断后伸长率 \delta：\delta=\frac{l_1-l}{l}\times 100\%（l_1 为拉断后标距长度）。表示拉断前能发生的最大塑性变形程度。
• 断面收缩率 \psi：\psi=\frac{A-A_1}{A}\times 100\%（A_1 为断口处最小横截面面积）。

Q235 钢：\delta_5=25\%\sim 27\%，\psi\approx 60\%，都较高。

4. 塑性材料 vs 脆性材料🤔 问AI

对没有明显屈服阶段的塑性材料（如某些高强钢、铝合金），用规定非比例延伸强度 \sigma_{p0.2}（对应塑性应变 0.2% 时的应力）作为强度指标。

📖 P31、P32、P33、P34

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§2-7 强度条件·安全因数·许用应力

这一节回答最实用的问题："这根杆到底安不安全？"——是真题考点。核心一句话：工作应力不能超过许用应力。

1. 极限应力与许用应力🤔 问AI

把材料的两个强度指标 \sigma_s 和 \sigma_b 统称为极限应力 \sigma_u。为确保杆不破坏，把最大工作应力的容许值规定为极限应力的若干分之一，称为许用应力 [\sigma]：

式中 n 是大于 1 的安全因数。

比喻：材料"极限能扛 \sigma_u"，但你不敢用到极限（万一材料有瑕疵、载荷超预期呢？），所以打个折，留一手——除以安全因数 n，得到"放心用的上限" [\sigma]。

安全因数 n 的取用：

• 塑性材料：以屈服强度 \sigma_s（或 \sigma_{p0.2}）作为 \sigma_u，n_s 一般取 1.25\sim 2.5。（塑性材料一屈服就丧失正常工作能力。）
• 脆性材料：以强度极限 \sigma_b 作为 \sigma_u，n_b 一般取 2.5\sim 3.0，有时可大到 4\sim 14。（脆性材料以断裂为破坏标志、强度分散度大，要多给储备。）

2. 强度条件🤔 问AI

为确保拉（压）杆不因强度不足而破坏，强度条件为：

对等截面直杆，改写为

3. 三类强度问题（必会）🤔 问AI

例题2-8（强度校核范例）：三铰屋架钢拉杆 d=16 mm，由平衡求得轴力 F_N=26.4 kN，许用应力 [\sigma]=170 MPa。

工作应力 \sigma=\frac{F_N}{A}=\frac{26.4\times 10^3}{\frac{\pi}{4}(16\times 10^{-3})^2}=131\ \text{MPa}<[\sigma]=170\ \text{MPa}，满足强度条件，安全。

📖 P39、P40、P41、P43、P44

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§2-8 应力集中的概念

比喻：一块平板上钻个小孔，再两头拉。孔边的应力会猛地窜高（约为平均应力的 3 倍），但离孔稍远处应力又迅速回落、趋于均匀。就像河道里放块石头，石头旁边水流又急又乱，远处又恢复平稳。这种因截面骤变（或几何外形局部不规则）引起的局部应力骤增现象，称为应力集中。

1. 应力集中因数🤔 问AI

\sigma=\frac{F_N}{A} 只适用于等截面直杆。对带螺栓孔的钢板、带螺纹的拉杆等截面骤然变化处，会出现应力集中。

用最大局部应力 \sigma_{max} 与该截面名义应力 \sigma_{nom}（视作均匀分布算出的应力）之比表示集中程度，称为理论应力集中因数：

⚠️ 要点：应力集中不是单纯由截面面积减小引起的，外形的骤然变化才是主因。外形变化越剧烈，应力集中越严重。

2. 塑性材料 vs 脆性材料对应力集中的敏感性（真题判断考点）🤔 问AI

特例：脆性材料中的铸铁，内部本身就有气孔、杂质等引起应力集中的因素，外形骤变引起的应力集中影响反而不明显，可不考虑。

⚠️ 注意：在动荷载作用下，不论塑性还是脆性材料，都应考虑应力集中的影响。

📖 P45、P46

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§3-1 概述

什么是扭转🤔 问AI

想象你拧一条湿毛巾：两只手在毛巾两端，往相反方向使劲转。毛巾被"拧"住了，这就是扭转。

当一根等直杆受到一对作用面垂直于杆轴线、大小相等转向相反的外力偶时，杆就会发生扭转变形。它的特征是：

• 受力特征：杆受到作用面垂直于杆件轴线的外力偶系作用。
• 变形特征：杆的相邻横截面绕杆轴线发生相对转动，杆表面原本平直的纵向线会变成螺旋线。

工程里单纯只发生扭转的杆不多，但以扭转为主要变形的很常见，比如机器里的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机的钻杆等。我们把扭转专门拎出来研究。

📖 P57

扭转角的叫法🤔 问AI

两端截面之间相对转动的那个角度，叫做相对扭转角，用 \varphi 表示。后面 §3-5 算的就是它。

📖 P57

§3-2 薄壁圆筒的扭转

为什么先研究薄壁圆筒？因为它的壁很薄，应力沿壁厚几乎不变，最容易看清扭转里"切应力"和"切应变"是怎么回事，相当于一个简化版的入门模型。

横截面上只有切应力🤔 问AI

设一个薄壁圆筒，壁厚 \delta 远小于平均半径 r_0（即 \delta \le \dfrac{r_0}{10}）。两端受外力偶矩 M_e 作用。

用截面法把它切开看：横截面上的内力只能是一个力偶，这个内力偶矩就叫扭矩，用 T 表示。由于内力只能由切应力合成出这个绕轴的力偶，所以横截面上的应力只能是切应力 \tau。

📖 P58

切应变 γ 是怎么来的🤔 问AI

在圆筒表面画上等间距的圆周线和纵向线，形成一系列正方形小格子。两端加上 M_e 后会发现：

• 圆周线保持不变（形状、大小、间距都不变）；
• 纵向线发生倾斜，但小变形时仍是直线。

就像你把一摞扑克牌斜推，每张牌还是矩形，但整摞歪了——每个直角都变了同一个角度。

每个小格子的直角改变量 \gamma，就叫切应变。由于圆筒极对称，沿圆周各点切应力数值相等；又因壁厚很薄，可近似认为沿壁厚方向切应力也不变。

📖 P58

三个核心结论（公式）🤔 问AI

① 切应力大小（由内力与应力的静力学关系 \int_A \tau\,\mathrm{d}A \cdot r = T 推出，引入 A_0=\pi r_0^2）：

② 切应变与扭转角的几何关系（r 为外半径，l 为两端面间距）：

③ 剪切胡克定律：实验发现 \varphi 与 M_e（数值上等于 T）成正比，结合上面两式得 \tau 与 \gamma 成线性关系：

📖 P59、P60

剪切胡克定律 τ=Gγ（重点）🤔 问AI

这跟拉伸里的 \sigma=E\varepsilon 是一对兄弟：那个是"拉得越狠、伸得越长"，这个是"剪得越狠、歪得越多"。

式中比例常数 G 叫材料的切变模量，量纲与弹性模量 E 相同，单位是 Pa。钢材的切变模量约值 G = 80\ \text{GPa}。

⚠️注意：\tau=G\gamma 只在切应力不超过材料的剪切比例极限 \tau_p 时才适用，即只适用于线弹性范围。

📖 P60

§3-3 传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图

这一节是真题考点。先学会把"功率、转速"换算成"外力偶矩"，再用截面法算出每段轴的扭矩，最后画成扭矩图找出最大扭矩在哪。

Ⅰ. 由功率、转速求外力偶矩（公式要背）🤔 问AI

工程里的传动轴往往只知道它传递的功率 P（单位 kW）和转速 n（单位 r/min），需要据此求出使轴扭转的外力偶矩 M_e。

比喻：功率是"每秒干多少活"，转速是"转多快"。同样的活，如果转得慢，那每一下就得使更大的劲（力偶矩大）；转得快，每一下就可以轻一点。所以 M_e 和功率成正比、和转速成反比。

由"功率＝力偶矩×角速度"推导，得到工程实用公式：

（即 M_e = 9549\dfrac{P}{n} 的同款公式，课本取 9.55\times10^3。P 用 kW、n 用 r/min 时，M_e 单位是 N·m。）

外力偶的转向：主动轮上的外力偶转向与轴的转动方向相同（输入动力），从动轮上的外力偶转向与轴的转动方向相反（输出动力）。

📖 P60、P61

Ⅱ. 扭矩及扭矩的正负号（重点·真题）🤔 问AI

作用在传动轴上的外力偶往往有好几个，所以不同轴段上的扭矩各不相同，要用截面法逐段计算：在要求的截面处假想切开，取一段，由平衡方程 \sum M_x = 0 求出该截面扭矩。

扭矩正负号——右手螺旋法则（多选4、判断考点）：

用右手四指顺着扭矩的转向弯，大拇指就指出扭矩矢量的方向。这就是"右手螺旋法则"。

规定有两种等价说法：

1. 按变形：杆因扭转使其纵向线在某段内有变成右手螺旋线的趋势时，该段横截面上的扭矩为正，反之为负。
2. 按矢量：把扭矩按右手螺旋法则用力偶矩矢表示，当力偶矩矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负。

这两种规定是一致的。

📖 P61

Ⅲ. 扭矩图🤔 问AI

为了表示扭矩沿杆轴线的变化、找出最大扭矩及其位置，仿照轴力图的画法画出扭矩图（T 图）。横坐标是截面位置，纵坐标是该截面扭矩，正扭矩画在上方（标 ⊕）、负扭矩画在下方（标 ⊖）。

看课本例题3-1：传动轴 n=300 r/min，主动轮输入 P_1=500 kW，三个从动轮输出 P_2=P_3=150 kW、P_4=200 kW。先用 M_e=9.55\times10^3\,P/n 算出各轮力偶矩（M_1=15.9、M_2=M_3=4.78、M_4=6.37 kN·m），再逐段用截面法求扭矩，画出 T 图，最大扭矩 T_{max}=9.56 kN·m 发生在 CA 段。

📖 P61、P62、P63

§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件

这是全章最硬的核心。结论先记牢：切应力沿半径线性分布，圆心为零、外圆周最大；最大切应力 \tau_{max}=T/W_p；强度条件 \tau_{max}\le[\tau]。

切应力沿半径线性分布（必懂的图）🤔 问AI

推导分三步（平面假设 + 剪切胡克定律 + 静力学）：

几何方面：在圆杆表面作两个相邻圆周线和纵向线。两端加 M_e 后，两圆周线绕轴相对转过一个角度，圆周线大小形状不变（平面假设：横截面像刚性平面一样绕轴转动）。设某点到圆心距离为 \rho，得任一点切应变：

即切应变与 \rho 成正比。

物理方面：由剪切胡克定律 \tau=G\gamma，得切应力变化规律：

可见切应力 \tau_\rho 与 \rho 成正比，方向垂直于半径（判断5考点）。

形象记：横截面像一张唱片在转，越靠边缘转得越"费劲"（应力大），圆心几乎不动（应力为零）。切应力沿任一半径是一条从圆心 0 到外缘最大的斜直线——这就是"线性分布"。

静力学方面：由合力矩原理 \int_A \rho\tau_\rho\,\mathrm{d}A = T，代入整理，引入极惯性矩：

得到 \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}，再代回即得切应力公式。

📖 P63、P64、P65

切应力计算公式 τ=Tρ/Ip（真题单选5）🤔 问AI

这是等直圆杆扭转时横截面上任一点切应力的计算公式。

⚠️应用条件：推导依据是平面假设且材料服从胡克定律，所以公式仅适用于线弹性范围内的等直圆杆（即：等截面圆轴 + 线弹性范围 + 小变形）。

📖 P65、P66

最大切应力 τmax=T/Wp（重点）🤔 问AI

由 \tau_\rho=T\rho/I_p 及分布图可见：当 \rho 等于半径 r（即横截面外圆周上）时，切应力达到最大值 \tau_{max}：

令 W_p = I_p/r（称为扭转截面系数，单位 \text{m}^3），则：

📖 P66

极惯性矩 Ip 与扭转截面系数 Wp 公式（要记）🤔 问AI

实心圆截面（直径 d）：

空心圆截面（内径 d、外径 D，\alpha = d/D）：

记忆诀窍：实心圆 I_p 是 \pi d^4/32，W_p 是 \pi d^3/16（次方降1、分母减半）。空心就在后面乘一个 (1-\alpha^4) 修正项把中间挖掉的部分扣除。

📖 P66、P67

切应力互等定理（薄壁/扭转都用到）🤔 问AI

在圆杆表面取一个单元体，它处于纯剪切应力状态（四个侧面只有切应力没有正应力）。由单元体的平衡可推出：

即：两个相互垂直平面上的切应力 \tau 和 \tau' 数值相等，且都指向（或背离）这两个平面的交线。这叫切应力互等定理。

形象记：你在一个小方块四条边上画切应力箭头，会发现它们必须"首尾呼应"——左面向上、右面向下，那么上面、下面就必须各来一对大小相等的切应力把它"顶住"，否则方块会自己转起来。这就是互等。

📖 P67、P68

Ⅲ. 强度条件（重点）🤔 问AI

等直圆杆扭转时，杆内各点都处于纯剪切应力状态。强度条件是横截面上的最大工作切应力 \tau_{max} 不超过材料的许用切应力 [\tau]：

最大工作应力发生在最大扭矩所在横截面（危险截面）的周边（危险点）。所以强度条件写成：

把 W_p 的公式代入，就能做三类问题：校核强度、选择截面、计算许可荷载。

例题3-4：d=50 mm 钢轴，电机 20 kW、n=180 r/min，[\tau]=40 MPa。算出 T_{max}=902 N·m，代入 \tau_{max}=T_{max}/W_p = \dfrac{16\times902}{\pi\times0.05^3}=36.8 MPa <[\tau]，满足强度要求。

📖 P71

§3-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件

强度管"会不会拧断"，刚度管"拧得转不转得过分"。这一节算扭转角 \varphi，再用单位长度扭转角控制刚度。

Ⅰ. 扭转变形——扭转角 φ（公式要背）🤔 问AI

扭转变形用两横截面绕轴相对转动的相对扭转角 \varphi 来度量。由 \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p} 积分，长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角：

当等直圆杆只在两端受一对外力偶、扭矩 T 处处相同，G、I_p 为常量时：

（也写成 \varphi = \dfrac{M_e l}{GI_p}）

\varphi 单位是 rad，正负号随扭矩 T 而定。GI_p 称为扭转刚度，\varphi 与 GI_p 成反比。

形象记：Tl 是"拧的劲×杆有多长"（越使劲、越长越容易被拧转），GI_p 是杆"抗拧的硬度"（材料越硬、截面越胖越不容易转）。这跟拉伸的 \Delta l = \dfrac{Nl}{EA} 是孪生公式。

📖 P72、P73

单位长度扭转角 θ（即 φ′）🤔 问AI

由于各段扭矩、长度可能不同，工程上常用相对扭转角沿杆长的变化率来度量刚度，称单位长度扭转角，用 \varphi'（也常记作 \theta）表示：

📖 P73

Ⅱ. 刚度条件（重点）🤔 问AI

刚度要求是限制单位长度扭转角的最大值 \varphi'_{max} 不超过规定的许用值 [\varphi']：

[\varphi'] 叫许可单位长度扭转角，常用单位 (°)/\text{m}。由于 T/(GI_p) 算出来单位是 rad/m，要换算成 (°)/\text{m}，故刚度条件写成：

注意那个 \dfrac{180°}{\pi} 就是把弧度 rad 换成度（°）的换算因子（1 rad ≈ 57.3°），别漏掉。

把 I_p 的公式代入，就能校核刚度、选择截面或计算许可荷载。

⚠️课外补充（课本给的工程参考值）：精密机器的轴 [\varphi'] 常取 0.15\sim0.30\,(°)/\text{m}，一般传动轴可放宽到 2\,(°)/\text{m} 左右。

📖 P74

§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图

什么是弯曲？什么是梁？🤔 问AI

想象一根晾衣杆，两头架在墙上，中间挂满湿衣服，杆子被压得往下弯成一道弧——这就是"弯曲"。凡是以弯曲为主要变形的杆件，工程上都叫"梁"。

等直杆在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶作用时，杆的轴线会从直线变成曲线，这种变形称为弯曲。凡以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁。📖 P96

工程中常见的梁（如楼板梁、火车轮轴、挡水墙桩），横截面都有一根对称轴。若梁上所有横向力或力偶都作用在"包含该对称轴的纵向平面（纵对称面）"内，则梁变形后的轴线必定是这个纵对称面内的一条平面曲线，这种弯曲叫对称弯曲。本书只讨论对称弯曲。📖 P96 P97

梁的三种支座简化形式🤔 问AI

支座就是"梁的脚"，按它能挡住梁往哪些方向动，分成三种"脚"。

📖 P97 P98

三种基本静定梁🤔 问AI

"静定"就是：约束力个数 = 平衡方程个数（3个），单靠平衡方程就能把约束力全部解出来。

若梁有1个固定端，或有"1个固定铰支座 + 1个可动铰支座"，则它的3个约束力可由平面力系的3个独立平衡方程解出，这种梁叫静定梁。工程上常见三种基本形式：📖 P98

• 简支梁：一端固定铰支座 + 一端可动铰支座（最常考）。
• 外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外。
• 悬臂梁：一端固定端，另一端自由。

⚠️课外补充（仅帮助理解）：如果支座数目多于3个，平衡方程不够用，就叫"超静定梁"，要到第六章才会解。

梁在两支座间的部分称为跨，其长度称为跨长。📖 P99

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§4-2 梁的剪力和弯矩 · 剪力图和弯矩图

这一节是全章的"地基"，剪力图、弯矩图画不对，后面正应力强度全错。务必讲透、练透。

一、剪力 FS 和弯矩 M 是什么🤔 问AI

用一把"假想的刀"把梁在某截面切成两半（这叫截面法），左半段为了不飞走、不翻转，切口处必然有内力顶住它：一个竖着的力把它托住（剪力），一个力偶不让它转（弯矩）。

设简支梁受集中力 F，已求得约束力 F_A、F_B。在距左端 x 处把梁切开，取左段为研究对象：

• 由 \sum F_y=0：F_S=F_A，这个内力 F_S 称为剪力。
• 由 \sum M_C=0（C 为截面形心）：M=F_A x，这个内力偶矩 M 称为弯矩。

📖 P99 P100

二、剪力、弯矩的正负号规定（⚠️与轴力不同，重点）🤔 问AI

这个符号规定很重要，真题判断题专考它。记住一句口诀："左上右下"剪力正；"下凸"（向上凹）弯矩正。

取截面处长为 \mathrm{d}x 的微段来规定：

• 剪力 F_S 正负：微段有"左端向上、右端向下"的相对错动趋势时，F_S 为正；反之为负。📖 P100
• 弯矩 M 正负：微段弯成"向上凸"（即下半部纵向受拉、下凸）时，M 为正；反之（上凸、上半受拉）为负。📖 P100

三、直接由外力求内力（实用速算法）🤔 问AI

不用每次都列平衡方程，可直接从截面任意一侧的外力求：📖 P101

1. 剪力 = 截面一侧梁段上横向力的代数和。"左侧梁段上向上"（或右侧向下）的横向力引起正剪力，反之为负。
2. 弯矩 = 截面一侧外力对该截面形心的力矩之代数和。对左侧梁段，外力矩顺时针转向引起正弯矩，逆时针为负；右侧梁段相反。

四、剪力方程、弯矩方程 · 剪力图和弯矩图🤔 问AI

内力会随截面位置 x 变化，把它写成 x 的函数 F_S(x)、M(x)，就是剪力方程、弯矩方程；把它们画成曲线，就是剪力图、弯矩图。

绘图约定：📖 P102

• 正剪力画在 x 轴上侧。
• 正弯矩画在梁的受拉侧，即 x 轴下侧（这点要特别注意，弯矩图"正值朝下"）。

典型例子1：简支梁受满跨均布荷载 q（⭐真题考点）

约束力 F_A=F_B=\dfrac{ql}{2}。剪力、弯矩方程：📖 P102 P103

剪力图是斜直线，弯矩图是二次抛物线。结论：

跨中截面 F_S=0，此处弯矩取极值。📖 P103

典型例子2：简支梁受集中力 F（在 C 点，距左端 a）

约束力 F_A=\dfrac{Fb}{l}，F_B=\dfrac{Fa}{l}。剪力图是两段水平线（在 C 处突变，突变量=F），弯矩图是两段斜直线，在集中力处出现尖角。📖 P104

典型例子3：简支梁受集中力偶 Me（在 C 点）

剪力图是一条水平线（力偶处不突变），弯矩图是两段斜直线，在集中力偶作用处弯矩有突变（突变量=Me）。📖 P105

五、内力图的规律总结（背下来能秒画图）🤔 问AI

📖 P105 P106

1. 分段：在集中力、集中力偶作用处和分布荷载起止处，方程要分段。
2. 集中力处：剪力图有突变（突变量=集中力值），弯矩图出现尖角。
3. 集中力偶处：弯矩图有突变（突变量=力偶矩），剪力图无变化。
4. 全梁最大剪力、最大弯矩可能出现在分段边界截面，或剪力为零的极值点截面。

六、q、FS、M 三者的微分关系（⭐核心，检查图对不对的法宝）🤔 问AI

这是本节的"数学骨架"：荷载、剪力、弯矩三者像"导数链条"一样连在一起。

设分布荷载集度 q(x)（规定向上为正），则：📖 P108 P109

几何意义：剪力图上某点切线斜率 = 该点荷载集度；弯矩图上某点切线斜率 = 该点剪力。📖 P109

由此可总结出一张极其好用的特征表：📖 P109

用这张表的口诀：无荷载段 → 剪力图水平、弯矩图斜直线；均布荷载段 → 剪力图斜直线、弯矩图二次抛物线（下凸）；弯矩极值出现在剪力为零处。

积分关系（求各截面内力的速算）

若两截面间无集中力/集中力偶：📖 P111 P112

七、按叠加原理作弯矩图🤔 问AI

当变形微小、内力与荷载呈线性关系时，几项荷载共同作用产生的弯矩 = 各项荷载单独作用产生弯矩的代数和。所以可分别作出各荷载单独作用的弯矩图，再把对应坐标叠加。📖 P115

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§4-3 平面刚架和曲杆的内力图

刚架 = 几根不同方向的杆，在杆端"焊死"（刚性连接）拼成的结构，像个"门框"。曲杆 = 轴线本来就是弯的杆，像个"半圆环"。

平面刚架的内力图🤔 问AI

平面刚架各杆横截面上的内力一般有轴力 F_N、剪力 F_S、弯矩 M 三个分量。符号规定：📖 P117

• 轴力仍以拉为正。
• 剪力、弯矩：想象人站在刚架内部环顾各杆，则正负号规定与梁相同。

画图习惯约定：

• 轴力图、剪力图：画在轴线任一侧（通常正值画在刚架外侧），须注明正负号。
• 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注正负号。

曲杆的内力图🤔 问AI

对环状曲杆用极坐标，以圆环中心为极点、用 \varphi 表示截面位置。对曲杆通常规定：使曲杆曲率增加（外侧受拉）的弯矩为正。例如一端固定的半圆环受集中力 F，弯矩方程：📖 P118 P119

最大弯矩在固定端 M_{max}=2FR。弯矩图画在曲杆受拉一侧。📖 P119

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§4-4 梁横截面上的正应力 · 梁的正应力强度条件

这是本章计算题的"主力部队"。一句话核心：弯矩越大、离中性轴越远的点，正应力越大，公式 \sigma=\dfrac{My}{I_z} 一定要背熟用熟。

一、纯弯曲与平面假设🤔 问AI

若梁某段内各横截面剪力为零、弯矩为常量，该段弯曲称为纯弯曲（如梁只受一对外力偶）。📖 P119

通过实验观察（横线 mm、nn 变形后仍为直线且仍垂直于轴线），引出平面假设：梁纯弯曲后，横截面仍保持平面，并绕垂直于纵对称面的某轴转过一个角度，且仍垂直于变形后的轴线。📖 P119

• 中性层：梁内必有一层纵向线既不伸长也不缩短，称中性层。📖 P119
• 中性轴：中性层与横截面的交线。梁弯曲时相邻横截面绕中性轴相对转动。中性轴与横截面的对称轴正交。📖 P119

二、正应力公式的推导（几何—物理—静力三方面）🤔 问AI

不用死记推导，记住三步逻辑：①几何上应变正比于到中性轴的距离 → ②物理上（胡克定律）应力正比于应变 → ③静力上凑出弯矩，定出中性轴位置和系数。

几何方面：距中性轴为 y 处的纵向线应变 \varepsilon=\dfrac{y}{\rho}（\rho 为中性层曲率半径）。即应变与到中性轴距离成正比。📖 P120 P121

物理方面：线弹性范围内由胡克定律 \sigma=E\varepsilon，得

即正应力与到中性轴的距离成正比（沿截面高度线性分布）。📖 P121

静力方面：由 \int_A \sigma\,\mathrm{d}A=0 推出 S_z=0，即中性轴 z 必通过横截面形心；由 \int_A y\sigma\,\mathrm{d}A=M 推出：📖 P121 P122

其中 EI_z 称为梁的弯曲刚度。代入得弯曲正应力公式：

式中 M 为横截面弯矩，I_z 为横截面对中性轴 z 的惯性矩，y 为所求点的纵坐标。📖 P122

三、最大正应力与抗弯截面系数 Wz🤔 问AI

当中性轴是对称轴时，最大正应力在离中性轴最远处（y_{max}）：📖 P122

其中抗弯截面系数：

W_z 与截面形状、尺寸有关，单位 \mathrm{m}^3。

常用截面的 I_z 和 W_z 公式（必背）：📖 P123

注意：对 T 字形等中性轴非对称截面，最大拉应力和最大压应力数值不等，要分别用受拉、受压部分到中性轴最远的距离 y_{t,max}、y_{c,max} 代入 \sigma=\dfrac{My}{I_z} 计算。📖 P123

四、横力弯曲时的推广🤔 问AI

当梁有横向力时，横截面上既有弯矩又有剪力，称横力弯曲。弹性理论证明：对常用梁（跨高比 l/h>5），仍可用纯弯曲公式 \sigma=\dfrac{My}{I_z} 计算正应力，误差不超过1%。最大正应力公式改为用该截面的弯矩 M(x)：📖 P123 P124

五、正应力强度条件（⭐校核/选截面/定荷载）🤔 问AI

最大正应力发生在最大弯矩截面距中性轴最远处，该处剪力为零、处于单轴应力状态，故强度条件为：📖 P125

其中 [\sigma] 为材料的许用弯曲正应力。用它可做三件事：校核强度、选择截面、确定许可荷载。

对铸铁等脆性材料（许用拉应力 [\sigma_t] < 许用压应力 [\sigma_c]），最大拉应力、最大压应力要分别不超过各自的许用应力。📖 P125

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§4-5 梁横截面上的切应力 · 梁的切应力强度条件

横力弯曲时，横截面上除了正应力，还有"沿截面方向"的切应力 \tau。它管的是"梁会不会被剪坏"。重点记：矩形截面切应力沿高度按抛物线分布，中性轴上最大、上下边缘为零，最大值是平均值的 1.5 倍。

一、矩形截面梁的切应力公式🤔 问AI

通过取微段、纵截面平衡推导（核心是用了正应力差与静矩），得切应力公式：📖 P130 P131

式中：F_S 为横截面剪力；I_z 为整个横截面对中性轴的惯性矩；b 为截面宽度；S_z^* 为横截面上"距中性轴为 y 的横线以外那部分面积 A^*"对中性轴的静矩。\tau 方向与 F_S 相同。📖 P131

二、切应力沿截面高度的抛物线分布🤔 问AI

对矩形截面，S_z^*=\dfrac{b}{2}\left(\dfrac{h^2}{4}-y^2\right)，代入得：📖 P131

可见 \tau 沿高度按二次抛物线变化：

• 在上下边缘 y=\pm\dfrac{h}{2} 处，\tau=0；
• 在中性轴 y=0 处，\tau 最大。

三、最大切应力 = 1.5 倍平均切应力（⭐结论必记）🤔 问AI

把 y=0 代入，得矩形截面：📖 P131 P132

即矩形截面最大切应力是平均切应力（F_S/A）的 1.5 倍，发生在中性轴上。📖 P132

四、其他截面的最大切应力🤔 问AI

全梁各横截面中最大切应力可统一表达为：📖 P135

• 工字形截面：腹板上 \tau=\dfrac{F_S S_z^*}{I_z d}（d 为腹板厚），沿腹板高度按抛物线分布，最大在中性轴。轧制工字钢可直接查 \dfrac{I_z}{S_{z,max}^*}。📖 P132 P133 P136
• 薄壁环形截面：\tau_{max}=2\dfrac{F_S}{A}（2倍平均）。📖 P134
• 圆截面：\tau_{max}=\dfrac{4}{3}\dfrac{F_S}{A}（约1.33倍平均）。📖 P135

五、切应力强度条件🤔 问AI

最大切应力发生在最大剪力截面的中性轴上，处于纯剪应力状态，强度条件：📖 P136 P137

通常先按正应力强度计算，再按切应力强度校核。一般梁强度由正应力控制，但以下三种情况需校核切应力：📖 P137

1. 梁的最大弯矩较小而最大剪力很大；
2. 焊接/铆接组合工字钢梁，腹板较薄；
3. 木梁（顺纹剪切强度差，可能沿中性层剪坏）。

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§4-6 梁的合理设计

这一节是真题"多选 + 简答"的常客。核心思路：从强度条件 \sigma_{max}=\dfrac{M_{max}}{W_z}\le[\sigma] 出发——想让梁更结实又省料，就是降低 M_{max}、增大 W_z、或在弯矩大处局部加强。

一、合理配置梁的荷载和支座🤔 问AI

同样的力，作用方式变一变，最大弯矩就能大幅下降。

• 荷载分散：简支梁跨中受集中力 F 时 M_{max}=\dfrac{Fl}{4}；若用辅梁把 F 分散到两点，M_{max} 降为 \dfrac{Fl}{8}，直接减半。📖 P139 P140
• 合理设置支座位置：把简支梁支座向跨中移动 0.207l，M_{max} 从 0.125ql^2 降到 0.0215ql^2，仅为原来的17.2%。📖 P140

二、合理选取截面形状🤔 问AI

一句话：把材料尽量"摆到离中性轴远的地方"，因为 W_z 随截面高度的平方增长，远处的材料"出力"最大。

弯矩一定时，\sigma_{max} 与 W_z 成反比，应尽量增大 \dfrac{W_z}{A} 比值（用最少材料换最大 W_z）。📖 P140

合理程度对比（塑性材料，拉压许用应力相等时取对称截面）：📖 P140

对铸铁等脆性材料（压强度 ≫ 拉强度），宜用 T 字形等中性轴不对称的截面，并把翼缘放在受拉侧，让较弱的拉应力区离中性轴近一些。📖 P140

三、合理设计梁的外形（变截面梁/等强度梁）🤔 问AI

最大弯矩截面应力达到 [\sigma] 时，其余截面应力都偏小、材料没用足。为省料、减重，把梁做成变截面梁：在弯矩大的部分局部加强。若使各截面最大正应力都相等且都达 [\sigma]，称等强度梁。📖 P141

工程实例：厂房常用的鱼腹梁（高度按 h(x)=\sqrt{\dfrac{3Fx}{b[\sigma]}} 变化）、汽车/火车的叠板弹簧。靠近支座处截面最小高度由切应力强度条件确定。📖 P141 P142

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§5-1 梁的位移——挠度及转角

先打个比方🤔 问AI

拿一根筷子架在两个杯子上，中间压一个鸡蛋。筷子会往下弯：中间那一点往下掉了多少厘米，这就是挠度；筷子原来是水平的，现在每一处都歪了一个小角度，这个歪的角度就是转角。整个弯下去的形状是一条平滑的曲线，工程上叫挠曲线。

两个基本量：挠度 w 与转角 θ🤔 问AI

为研究等直梁对称弯曲时的位移，先约定坐标系：取变形前的轴线为 x 轴，梁横截面的铅垂对称轴为 y 轴，xy 平面就是荷载作用的纵向对称平面。梁弯曲后，轴线变成 xy 平面内的一条光滑连续曲线（如 @FIG[f5-1] 中的 AC_1B）。度量变形有两个基本量：

• 挠度 w：横截面形心（即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移，称为该截面的挠度。说人话——这个截面上下移动了多少。
• 转角 \theta：横截面相对其原来位置转过的角位移，称为该截面的转角。由于变形后横截面仍与挠曲线保持垂直，所以转角 \theta 也就是挠曲线在该点处的切线与 x 轴的夹角。

为什么不用第四章的"曲率"来度量？因为曲率难测量，而且梁的变形还跟支座约束有关。挠度 w 和转角 \theta 这两个量既好懂又好测，所以工程上就用它俩反映梁的变形。

📖 P156

挠曲线方程 w = f(x)🤔 问AI

在小变形情况下，梁的挠度远小于跨长，挠曲线是一条很平坦的曲线。截面形心沿 x 轴方向的线位移（轴向跑动）与挠度相比是高阶微量，可以略去不计。所以变形后的轴线（挠曲线）可表达为

式中 x 是任一点的横坐标，w 是该点的挠度。这个式子叫挠曲线方程（或弹性曲线方程）。

📖 P156

转角与挠度的关系：θ ≈ dw/dx🤔 问AI

这是本节最关键的一条关系，必须记牢。由于挠曲线是一条平坦曲线，转角 \theta 很小，所以

也就是说：挠曲线上任一点切线的斜率 w' ，就足够精确地代表该点横截面的转角 \theta。这个式子叫转角方程。

一句话记忆：挠度对 x 求一次导，就是转角。求出了挠曲线方程 w=f(x)，再求个导，全梁每个截面的挠度和转角就全知道了。

📖 P156, P157

正负号规定（选择题常考）🤔 问AI

在 @FIG[f5-1] 所示坐标系（x 轴向右、y 轴向下）中：

📖 P157

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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

这一节是全章的发动机，简答题就靠它推。逻辑很简单：上一章给了"曲率 = M/EI"，数学上"曲率"又能写成 w''，两边一接，就得到一个微分方程；解这个方程（积分两次），就把挠曲线 w=f(x) 求出来了。

第一步：从曲率到 w''🤔 问AI

第四章给过曲率与弯矩的物理关系（式 4-4）：

横力弯曲时截面上虽然还有剪力 F_S，但工程上常用的梁跨长 l 一般大于截面高度的 10 倍，剪力对位移的影响很小可略去，所以这个式子仍能用，只是 M 和 \rho 都是 x 的函数：

数学上，平面曲线的曲率与曲线方程导数的关系是：

📖 P157

第二步：确定正负号🤔 问AI

当取 x 轴向右为正、y 轴向下为正时：曲线凸向上时 w''>0，凸向下时 w''<0。而按弯矩正负号规定，梁弯曲后凸向下时 M>0，凸向上时 M<0（如 @FIG[f5-2]）。可见 w'' 与 M 符号永远相反，所以右边取负号：

📖 P157, P158

第三步：近似（这就是"近似微分方程"的由来）🤔 问AI

由于挠曲线是平坦曲线，w'^2 与 1 相比十分微小可略去，于是上式简化为

对等截面直梁，EI 是常量，可改写为本节的核心方程：

这就是梁的挠曲线近似微分方程。"近似"二字来自两处略去：略去了剪力 F_S 的影响、略去了 w'^2 项。

📖 P158

第四步：积分两次🤔 问AI

把式（5-2b）两端各乘 \mathrm{d}x，积分一次得转角方程：

再积分一次得挠曲线方程：

📖 P158

第五步：用边界条件定积分常数 C₁、C₂🤔 问AI

积分出来多了两个"尾巴" C_1、C_2，得靠梁在支座处的已知信息把它们钉死。这些已知信息叫边界条件。

常见边界条件（@FIG[f5-4]）：

• 简支梁：左右两铰支座处挠度为零，即 w_A=0、w_B=0。
• 悬臂梁：固定端处挠度和转角都为零，即 w_A=0、\theta_A=0。

定出 C_1、C_2 后代回式（5-3a）（5-3b），就得到梁的转角方程和挠曲线方程，从而求任一截面的转角和挠度。当全梁弯矩可用单一方程表示时，挠曲线方程只有一个（@FIG[f5-3] 中各梁）；若荷载不连续（分布荷载在中间起止、有集中力或力偶），弯矩须分段写，每段一个微分方程，靠相邻两段交界处的连续条件（挠度相等、转角相等）补充确定积分常数。

📖 P158, P159, P161

⭐ 例题 5-2（简答3模板）：简支梁全跨均布荷载🤔 问AI

这道例题就是简答3要推的内容，下面给完整推导。

题目：弯曲刚度为 EI 的简支梁，全梁受集度为 q 的均布荷载。求挠曲线方程、转角方程，并求最大挠度 w_{max} 和最大转角 \theta_{max}。

（1）求支反力：由对称性，两支座约束力相等

（2）写弯矩方程：取距 A 端为 x 的截面

（3）代入近似微分方程并积分两次：

积分一次：

再积分一次：

（4）用边界条件定常数：简支梁两端挠度为零

• 在 x=0 处 w=0 ：代入得 C_2=0
• 在 x=l 处 w=0 ：代入得 C_1=\dfrac{ql^3}{24}

（5）写出转角方程和挠曲线方程：

（6）求最大转角：荷载与边界条件都对称于跨中。最大转角在两支座处，把 x=0（或 x=l）代入转角方程：

（7）求最大挠度：挠曲线是对称光滑曲线，最大挠度必在跨中 x=l/2 处，代入挠曲线方程：

这两个结果 w_{max}=\dfrac{5ql^4}{384EI} 和 \theta=\dfrac{ql^3}{24EI} 是材料力学最该背下来的两个公式，叠加法里天天用。

📖 P159, P160, P161

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§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角

积分法虽然万能，但分段多了很麻烦。工程上更常用叠加法：把复杂荷载拆成几个简单荷载，每个简单荷载的挠度/转角直接查表（附录Ⅳ"梁的挠度转角表"），再把各自结果加起来就行。像搭积木一样。

叠加原理为什么成立🤔 问AI

梁在小变形下，弯矩与荷载呈线性关系；线弹性范围内挠度很小时，曲率（即挠度二阶导）又与弯矩成正比。所以挠度、转角与荷载都呈线性关系。因此：

梁在几项荷载同时作用下某截面的挠度（或转角），等于每项荷载单独作用下该截面挠度（或转角）的代数和。 这就是叠加原理。

📖 P164

怎么用：查表 + 相加🤔 问AI

已知每项荷载单独作用下的挠度转角表（附录Ⅳ），按叠加原理算最大挠度、最大转角就很简便。下面是几个必须背下来的常用结果（简支梁、悬臂梁，EI 为弯曲刚度）：

表里前两行是简支梁的"两兄弟"：均布荷载分母 384、集中力分母 48；转角则是 24 和 16。考试默写率极高。

📖 P160, P164

例题 5-4：叠加法求简支梁跨中挠度与端部转角🤔 问AI

把作用在半跨上的均布荷载 q，拆成"正对称荷载 + 反对称荷载"两种情况叠加（如 @FIG[f5-ex4]）。

• 正对称分量（全跨各 q/2）查表得：w_{C1}=\dfrac{5(q/2)l^4}{384EI}=\dfrac{5ql^4}{768EI}，\theta_{A1}=-\theta_{B1}=\dfrac{(q/2)l^3}{24EI}=\dfrac{ql^3}{48EI}
• 反对称分量：跨中挠度为零 w_{C2}=0；端部转角 \theta_{A2}=\theta_{B2}=\dfrac{(q/2)(l/2)^3}{24EI}=\dfrac{ql^3}{384EI}

叠加得：

叠加法的精髓：复杂问题 = 简单问题之和。会查表、会拆分、会代数相加，这一节就过关了。

📖 P165, P166

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§5-6 梁的刚度校核·提高梁刚度的措施

第四章管"强度"（别断），这一节管"刚度"（别太软）。机床主轴弯太多会影响加工精度，传动轴在轴承处转角太大会磨损轴承，桥梁挠度太大火车过去会颤——所以光不断还不够，还得"够硬"。

Ⅰ. 刚度校核🤔 问AI

设计梁除满足强度条件外，往往还要满足刚度条件。挠度的许可值通常用许可挠度与跨长之比 \left[\dfrac{w}{l}\right] 作标准（土建工程约 \frac{1}{1000}\sim\frac{1}{250}，机械主要轴约 \frac{1}{10000}\sim\frac{1}{5000}），转角许可值 [\theta] 一般限制在 0.001\sim0.005 rad。

刚度条件可表达为：

校核步骤：先用积分法/叠加法算出 w_{max}、\theta_{max}，再和许可值比。算出来的 \leq 许可值，刚度就够。例题 5-9 中算出 w_{max}=4.66 mm，许可挠度 [w]=\frac{1}{400}\times2.4\text{ m}=6 mm，因 4.66<6，满足刚度条件。

📖 P175, P177

Ⅱ. 提高梁刚度的措施🤔 问AI

由附录Ⅳ可见，梁的位移除了与支承、荷载情况有关，还与弯曲刚度 EI 成反比，与跨长 l 的 n 次幂成正比。因此减小位移可采取下列措施：

1. 增大梁的弯曲刚度 EI

对钢材而言，换高强度钢只提强度、对刚度改善不明显（因为各种钢的 E 值相近）。所以提刚度要设法增大惯性矩 I：在截面面积不变的情况下，采用面积分布远离中性轴的截面形状（工字形、箱形等），以增大 I，从而降低应力、提高弯曲刚度。

2. 调整跨长和改变结构

梁的挠度、转角与跨长 l 的 n 次幂成正比，所以缩短跨长能显著减小位移。工程中常用两端外伸的结构（@FIG[f5-12]）：既缩短了跨长，外伸部分的自重又使中间 AB 跨产生向上的挠度，抵消一部分向下挠度。此外增设支座（如车削细长工件时尾部加顶杆、大桥跨中增设桥墩）也能减小挠度，但会把静定梁变成超静定梁（第六章讨论）。

一句话总结提刚度三招：①把料挪到离中性轴远的地方（加大 I）；②缩短跨长 l；③加支座/改结构。 注意：增加梁的长度反而使位移更大，是错误措施。

📖 P178

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§6-1 超静定问题及其解法

什么叫静定、什么叫超静定🤔 问AI

打个比方：你一个人抬一张桌子，两只手刚好够用，每只手出多少力一算就知道——这叫静定。现在为了省力，又喊来一个朋友帮忙搭一只手，三只手抬一张桌子，到底每只手分担多少力？光靠"力的平衡"算不出来了，因为多了一只手——这就是超静定。

前面几章里，轴向拉压杆、受扭圆轴、受弯梁的约束力和内力，只用静力学平衡方程就能全部求出来，这类问题叫 静定问题。

但工程上为了减小构件的应力或变形，常常故意多加构件或支座。比如：

• 大型桁架某结点用 三根杆铰接（@FIG[f6-1a]），平面汇交力系只有 2 个独立平衡方程，却有 3 个未知轴力 → 平衡方程不够用。
• 一根大跨度简支梁，为降低最大弯矩和挠度，在跨中多加一个支座（@FIG[f6-1b]），平面平行力系只有 2 个独立平衡方程，却有 3 个支座反力 → 还是不够用。

这类不能单靠静力平衡方程求解的问题，就叫 超静定问题。📖 P186

多余约束、超静定次数、多余未知力🤔 问AI

接着上面抬桌子的比方：两只手就够抬了，第三只手是"多请来的"。这只多出来的手，就叫多余约束。

• 多余约束：超出维持平衡所必需的那些支座或杆件。
• 多余未知力：与多余约束对应的约束力或内力。
• 超静定次数 = 未知力个数 − 独立平衡方程个数 = 多余约束（多余未知力）的个数。

例如三杆桁架（@FIG[f6-1a]）：未知力 3 个，独立平衡方程 2 个，超静定次数 = 3 − 2 = 1 次超静定。📖 P187

核心套路：平衡方程 + 变形协调方程🤔 问AI

这是全章最重要的思想，所有超静定题都按这三步走：

把③的物理关系代入②的变形相容方程，就得到一条只含未知力的新方程，叫 补充方程。再把补充方程和①的平衡方程联立求解，全部未知力就解出来了。📖 P187

一句话记忆：平衡方程缺几个，就去找几条"变形得对得上"的几何条件来补。

基本静定系（相当系统）🤔 问AI

还有一个常用做法：把某处多余约束解除掉，换成一个未知力（多余未知力）顶上，就得到一个作用着荷载 + 多余未知力的静定结构，叫 基本静定系（也叫相当系统）。

为了让它和原超静定结构等效，要求：在多余未知力作用处的位移，必须满足原结构在那里的约束条件（即变形相容条件）。由此列出补充方程，解出多余未知力——后面就全按静定结构算了。📖 P187

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§6-2 拉压超静定问题

解法步骤🤔 问AI

拉压超静定就是把上节套路用在"杆受拉压"上，三步：

1. 静力平衡方程：取结点（或部件）画受力图，列 \sum F=0。
2. 变形几何相容方程：根据各杆变形后仍连在一起的几何关系，写出各杆伸长量 \Delta l 之间的关系。
3. 物理关系：用 \Delta l=\dfrac{F_N l}{EA} 把变形换成轴力，代入第 2 步得补充方程，再与第 1 步联立解出各杆轴力。📖 P187

拉压超静定有两个最经典的"考试模型"：三杆桁架和两端固定杆（含装配应力、温度应力），看到它们直接套上面三步。

典型模型一：三杆桁架（例题 6-1）🤔 问AI

三根杆铰接于 A 点，杆 1、2 对称（长 l、面积 A、模量 E），杆 3 竖直（长 l_3、面积 A_3、模量 E_3），在 A 点受竖直力 F。

① 平衡方程（取结点 A，设三杆均受拉）：

3 个未知轴力、2 个平衡方程 → 一次超静定，需补一条方程。

② 变形几何相容方程：三杆下端原来连在 A，受力后仍要连在一起（移到 A'）。由对称性，A 竖直向下移动。杆 1、2 的伸长 \Delta l_1 与杆 3 的伸长 \Delta l_3 的几何关系为（@FIG[f6-1ex]中 c 图）：

③ 物理关系：

代入相容方程得补充方程：

联立求解得各杆轴力：

结果是正的，说明"三杆都受拉"的假设对了。这里有个重要结论：超静定杆系中，各杆轴力的大小，跟自己的刚度和别人的刚度之比有关——谁刚（EA 大），谁就分担得多。这和静定结构"内力只由外力决定"完全不同。📖 P188-189

典型模型二：两端固定杆 / 装配应力 / 温度应力（了解）🤔 问AI

这几个本质都是"两头被卡死，不能自由伸缩"的超静定杆，关键仍是写变形相容方程。

• 装配应力：杆件加工有微小长度误差 \Delta e，硬装进超静定结构后会被强行拉/压，产生附加内力，叫装配内力，对应装配应力（也叫初应力）。它是结构在受荷载之前就已具有的应力。计算关键仍是按变形相容条件列方程（如例题 6-3，相容方程 \Delta l_3=\Delta e-\Delta l_1）。土建里的预应力钢筋混凝土就是利用装配应力提高承载能力。📖 P191-193
• 温度应力：温度变化时杆要热胀冷缩，但超静定结构里被多余约束限制住，胀不动 → 产生温度内力与温度应力。关键区别：此时杆的变形 = 温度变形 + 弹性变形两部分，相容方程要把两者都算上（如例题 6-4 的两端固定钢管套铜杆）。铁路钢轨留缝、高温管道设弯道，都是为温度伸缩留余地。📖 P193-195

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§7-2 平面应力状态的应力分析·主应力

1. 什么是一点处的应力状态、单元体🤔 问AI

打个比方：你站在一块受力的钢板上的某一点，朝不同方向"切一刀"，每个方向切面上感受到的"挤压/搓动"力度都不一样。把这个点周围所有方位截面上应力的全部情况合起来，就叫这一点处的应力状态。

为了研究一点处的应力状态，我们围绕该点切取一个边长无穷小的正方体，叫做单元体。因为边长极小，可以认为单元体每个面上的应力都是均匀分布的，而且一对平行面上的应力大小相等。

如果单元体有一对平面上的应力等于零（即不为零的应力全都落在同一个坐标平面内），这种应力状态就称为平面应力状态。当其余两对平面上的正应力、切应力（\sigma_x、\tau_x 和 \sigma_y、\tau_y）都不为零时，就是平面应力状态的普遍形式。由于前、后两个面上应力为零，单元体可以"压扁"成一个平面图形来画。

🧠 记忆："平面应力"= 一对面是空的（应力为零），所有戏都在一个平面里演。 例如悬臂梁里取一点的单元体，前后面（与纸面平行）没应力，就是平面应力状态。

📖 P213、P214

2. 任意斜截面上的应力（解析法，重点公式）🤔 问AI

比喻：单元体 x、y 面上的应力是"已知地图"，现在想知道斜着切一刀（与 x 轴成 \alpha 角的那个面）上有多少正应力、多少切应力。用截面法把斜面那一块切下来，列平衡方程，就能解出来。

先约定方位角与正负号（必须记牢）：

• 斜截面外法线 n 与 x 轴的夹角记为 \alpha（叫 \alpha 截面），从 x 轴逆时针转到 n 为正。
• 正应力 \sigma_\alpha：拉为正、压为负。
• 切应力 \tau_\alpha：使单元体内任一点产生顺时针力矩转向的为正，反之为负。

对斜面那一块列平衡方程（沿法线 n 和切向 t），并用切应力互等定理（\tau_x 与 \tau_y 数值相等），整理得到平面应力状态下任一 \alpha 截面上的应力公式：

这两式说明：随着 \alpha 角变化，斜截面上的 \sigma_\alpha、\tau_\alpha 都以 2\alpha 为参变量周期性变化——这正是"一点处应力状态"随方位变化的规律。

🧠 用法提示：把已知的 \sigma_x、\sigma_y、\tau_x 和要求的角 \alpha 直接代进去就能算。注意公式里出现的是 2\alpha，别忘了乘 2。

📖 P215、P216

3. 应力圆（莫尔圆）的概念与画法🤔 问AI

比喻：式 (7-1)(7-2) 算起来要套三角函数，麻烦。德国人莫尔(O. Mohr)发现：如果把每个 \alpha 截面的 (\sigma_\alpha,\tau_\alpha) 当成坐标点画在 \sigma-\tau 平面上，所有点正好连成一个圆！这样应力变化就变成"在圆上转圈"，一目了然。

把式 (7-1)(7-2) 中的参变量 2\alpha 消去，可得

这是一个圆的方程。可见当 \alpha 变化时，(\sigma_\alpha,\tau_\alpha) 的轨迹是一个圆，习惯上称为应力圆，也叫莫尔(O. Mohr)应力圆。它的特征：

画法（口诀：先点 D_1D_2，连线交轴定圆心，再画圆）：

1. 取 O\sigma\tau 直角坐标系，定好比例尺。
2. 量取 OB_1=\sigma_x、B_1D_1=\tau_x，得 D_1 点——它代表单元体 x 面上的应力 (\sigma_x,\tau_x)。
3. 量取 OB_2=\sigma_y、B_2D_2=\tau_y，得 D_2 点——代表 y 面上的应力。
4. 连 D_1D_2，与 \sigma 轴交于 C 点（即圆心）；以 C 为心、CD_1 为半径画圆，就是应力圆。

关键对应关系（应力圆的灵魂）：单元体上某个面 → 应力圆上一个点；单元体上两个面外法线夹角为 \beta，则应力圆上对应两点之间的圆心角为 2\beta，且转向一致。所以单元体上转 \alpha，圆上就转 2\alpha。

📖 P216、P217、P218

4. 主应力、主平面、主应力公式（核心考点）🤔 问AI

比喻：在应力圆上转一圈，总能找到圆与 \sigma 横轴的两个交点 A_1、A_2。这两点切应力（纵坐标）为零，正应力（横坐标）一个最大、一个最小——这就是这一点处正应力的"极值之面"。

定义：

• 主平面：切应力等于零的截面。
• 主应力：主平面上的正应力，是过一点不同方位截面上正应力的极值。

可以证明，一点处一定存在一个三对面都是主平面的单元体，三个互相垂直的主应力按代数值大小排列记为 \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3（带正负号比大小，拉为正、压为负，所以 \sigma_1 最大、\sigma_3 最小）。

对平面应力状态，由应力圆上 A_1、A_2 两点横坐标（圆心横坐标 \pm 半径）即得两个主应力：

⚠️ 平面应力状态里还有一个主应力等于零（前后面那对，应力为零）。求出上面两个值后，要和这个 0 一起，按 \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3 重新排序。比如算出一拉一压，则拉的是 \sigma_1、0 是 \sigma_2、压的是 \sigma_3。

主平面方位角（\sigma_1 所在主平面）：

\sigma_2（或 \sigma_3）所在主平面与 \sigma_1 主平面互相垂直。

📖 P218、P219

5. 最大切应力 $\tau_{max}$🤔 问AI

比喻：主应力管"最大正应力"，但材料也会被"搓坏"。把三个主应力求出来后，最大切应力就藏在最大主应力和最小主应力之间。

当一点处三个主应力 \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3 已知时，最大正应力就是 \sigma_{max}=\sigma_1 (式 7-6)，而最大切应力等于最大应力圆的半径：

最大切应力所在截面与 \sigma_2 主平面垂直，并与 \sigma_1、\sigma_3 主平面各成 45° 角。这个公式对平面应力、单轴应力状态同样适用——只要先求出三个主应力，按 \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3 排好，代进去即可。

🧠 记忆：最大切应力 = (最大主应力 − 最小主应力) ÷ 2，挑头挑尾，中间的 \sigma_2 不参与。常见错误是用 \sigma_1 和 \sigma_2，记住一定是 \sigma_1 和 \sigma_3。

📖 P224（式 7-6）、P225（式 7-7）

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§7-4 应力与应变间的关系（广义胡克定律）

1. 各向同性材料的广义胡克定律（三向公式）🤔 问AI

回忆：单向拉伸时 \varepsilon=\frac{\sigma}{E}（轴向变长），同时横向会变细（泊松比 \nu）。现在单元体三个方向都受正应力 \sigma_x、\sigma_y、\sigma_z，每个方向的线应变要把"自己拉的伸长" + "另外两个方向把我挤的横向收缩"叠加起来——这就是广义胡克定律。

对各向同性材料、在线弹性、小变形条件下，用叠加原理可得三个方向的线应变：

切应变与切应力的关系（彼此独立，各管各的平面）：

式 (7-8a) 和 (7-8b) 合起来，就是一般空间应力状态下各向同性材料的广义胡克定律。

🧠 记忆口诀："本方向除以 E，旁边两个乘 ν 减掉"；正应力只引起线应变，切应力只引起同一平面内的切应变，互不串门。

📖 P228、P229

2. 平面应力状态下的形式🤔 问AI

当 \sigma_z=0、\tau_{xz}=0、\tau_{yz}=0（平面应力状态），上式简化为：

⚠️ 注意：平面应力状态虽然 \sigma_z=0，但 \varepsilon_z\ne 0！因为 \sigma_x、\sigma_y 会把 z 方向"挤薄/拉薄"。这是常考的判断点。

若已知的是三个主应力，则用主应力表示的广义胡克定律为：

三个弹性常数之间还有一个重要关系：

📖 P229、P230

3. 体积应变🤔 问AI

比喻：一块橡皮受力后不光形状变，"个头"（体积）通常也会变。每单位体积的体积变化，叫做体积应变，用 \theta 表示。

设主应力单元体三个边长为 a_1、a_2、a_3，变形后边长变为 a_1(1+\varepsilon_1)、a_2(1+\varepsilon_2)、a_3(1+\varepsilon_3)。在小变形下略去高阶小量，体积应变为

把广义胡克定律 (7-9a) 代入并化简，得到

即一点处体积应变与该点三个主应力之和成正比。对一般坐标方向同样有

🧠 两个要点：① 体积应变 = 三个线应变之和（\theta=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3），也等于上面那个由应力算的公式。② 切应力不引起体积改变——比如纯剪切状态 \sigma_1=-\sigma_3=\tau_{xy}、\sigma_2=0，代入 (7-13a) 得 \theta=0。所以体积变化只跟"三个正应力之和"有关。

📖 P234、P235

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