开篇：这份资料怎么用

这门课不靠"刷难题"，靠把固定套路练熟。18 套真题统计下来，每年考的就是那几类母题，题面换皮、内核不变。把下面 7 类母题练到闭着眼睛能写步骤，期末大题 70% 的分就稳了。

三步用法

1. 先看「考点频率地图」，知道哪些必考、哪些是送分题、哪些只在选择题露面。时间紧就按 ★ 多少排优先级。
2. 每个模块先读「知识点讲解」，把定义、公式、套路记住；再做「真题精练」，对着分步解析自己重写一遍。
3. 做穿插的选择题，点一下选项立刻判分给解析，右下角实时显示正确率。不懂就问右下角 💬 答疑助手。

考点频率地图（18 套真题统计）

复习路径（时间紧就照这个顺序来）

不按课本章节顺序，按"投入产出比"排。一句话战略：M1 / M4 / M8 / M9 四块吃透 ≈ 拿下大题 70% 的分；M2 / M3 是稳定送分题必须会；M5 / M6 / M7 主攻选择题套路。

🔴 第一档 · 四大高频大题（每套必考，先啃这四块）

🟡 第二档 · 稳定送分题（必须会，不会就亏分）

• M2 一维连续密度：归一化求常数 → 分段写 F(x) → 求 E(X)/D(X)。
• M3 随机变量函数分布：分布函数法 F_Y(y)=P{g(X)≤y} → 求导（见过 X²/√X/eˣ/sinX/lnX 等）。

🟢 第三档 · 客观题套路（只刷选择/填空，不展开大题）

• M5 数字特征：D(aX±bY)、协方差、相关系数 ρ。
• M6 大数定律/中心极限：中心极限定理近似、切比雪夫不等式估概率。
• M7 抽样分布：由统计量构造辨认 χ²/t/F。

考前最后一晚：只过下面的「七道必拿分母题模板」+「必背公式速查表」，再把 M5/M6/M7 的选择题套路扫一遍即可。

七道"必拿分"母题（背下解题模板）

1. 全概率 + 贝叶斯（M1）：列原因 A_i → 写 P(A_i)、P(B|A_i) → 全概率求 P(B) → 贝叶斯求 P(A_i|B)。
2. 二维连续型综合（M4）：求常数 → 边缘密度 → 独立性判断 → E(XY)。
3. 一维连续密度综合（M2）：归一化求常数 → 分段写 F(x) → 求 E(X)/D(X)。
4. 随机变量函数分布（M3）：分布函数法 F_Y(y)=P{g(X)≤y} → 求导。
5. Z = X + Y 的分布（M4）：卷积 f_Z(z)=∫ f_X(x)f_Y(z−x) dx（或二维均匀直接积分）。
6. 极大似然估计（M8）：写似然 L(θ)=∏ f(x_i) → 取对数 ln L → 求导=0 → 解出 θ̂。
7. 单正态总体假设检验（M9）：提 H₀/H₁ → 选统计量（σ² 未知用 t、已知用 U、查方差用 χ²）→ 定拒绝域 → 代入比较下结论。

必背公式速查表

考前最后一晚就背这一节。每条公式后面都标了它属于哪个模块、用在哪类题。

概率基本公式（M1）

• 加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB)；若 A、B 互斥则 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
• 减法公式：P(A−B) = P(A) − P(AB)；P(A̅) = 1 − P(A)。
• 条件概率： P(B|A) = P(AB) / P(A)　（要求 P(A) > 0）
• 乘法公式：P(AB) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)。
• 独立：A、B 独立 ⟺ P(AB) = P(A)P(B)。此时 P(B|A)=P(B)。
• 全概率公式（"由原因推结果"）：设 A₁…A_n 是一组互斥且穷尽的原因， P(B) = Σ_i P(A_i)·P(B|A_i)
• 贝叶斯公式（"由结果反推原因"）： P(A_k|B) = P(A_k)P(B|A_k) / Σ_i P(A_i)P(B|A_i)

常见分布的期望方差（M2 / M5）

指数分布要分清"参数 λ"写法：f(x)=λe^−λx 时 E(X)=1/λ。本校真题基本用这个写法。

数字特征公式（M5）

• 离散期望：E(X)=Σ x_k p_k；连续期望： E(X) = ∫ x·f(x) dx
• 函数期望：E(g(X))=Σ g(x_k)p_k 或 ∫ g(x)f(x) dx（不用先求 Y 的分布）。
• 方差：D(X) = E(X²) − [E(X)]²（最常用）。
• 线性性质：E(aX+b)=aE(X)+b；D(aX+b)=a²D(X)。
• 协方差：Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y)。
• 方差和：D(X±Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(X,Y)；X、Y 独立(或不相关)时 D(X±Y)=D(X)+D(Y)。
• 相关系数： ρ_XY = Cov(X,Y) / √(D(X)·D(Y))　|ρ|≤1，ρ=±1 ⟺ X、Y 有线性关系。
• 独立 ⟹ 不相关（ρ=0），反之不一定。

数理统计核心（M7 / M8 / M9）

• 样本均值：X̄ = (1/n)ΣX_i；样本方差：S² = 1n−1 ·Σ(X_i−X̄)²（注意分母是 n−1）。
• 三大抽样分布（X_i 独立同 N(0,1)）：ΣX_i² ~ χ²(n)；正态/√(χ²/n) ~ t(n)；(χ²₁/n₁)/(χ²₂/n₂) ~ F(n₁,n₂)。
• 正态总体抽样：(X̄−μ)/(σ/√n) ~ N(0,1)；(X̄−μ)/(S/√n) ~ t(n−1)；(n−1)S²/σ² ~ χ²(n−1)。
• 矩估计：令总体矩=样本矩（E(X)=X̄）解参数。
• 极大似然估计：L(θ)=∏f(x_i;θ) → ln L → d(ln L)/dθ = 0 → 解 θ̂。
• 假设检验拒绝域（显著性水平 α）：
• 均值、σ² 已知（U 检验）：U=(X̄−μ₀)/(σ/√n)，拒绝域 |U| > u_α/2。
• 均值、σ² 未知（t 检验）：t=(X̄−μ₀)/(S/√n)，拒绝域 |t| > t_α/2(n−1)。
• 方差（χ² 检验）：χ²=(n−1)S²/σ₀²，拒绝域 χ² > χ²_α/2(n−1) 或 χ² < χ²_1−α/2(n−1)。
• 两类错误：弃真=第一类错误（H₀ 真却拒绝，概率 α）；取伪=第二类错误（H₀ 假却接受）。

M1　随机事件与概率

★★★★★ 每套必考。大题主力是全概率公式 + 贝叶斯公式，选择/填空考加法公式、条件概率、独立性。这一块是整张卷子最稳的送分大题，模板背熟即可。

知识点讲解

1. 事件关系与运算

• 互斥（互不相容）：A、B 不能同时发生，AB=∅，此时 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
• 对立：A̅ 是"A 不发生"，P(A̅)=1−P(A)，且 A 与 A̅ 必有一个发生。
• 独立：一个发生与否不影响另一个，判据是 P(AB)=P(A)P(B)。
• ⚠️ 易错：互斥和独立是两回事。两个概率都不为 0 的事件，互斥一定不独立（互斥时 P(AB)=0≠P(A)P(B)）。

2. 三个核心公式

加法公式（求"至少一个发生"）：

条件概率（已知 A 发生，求 B 的概率）：

乘法公式：P(AB) = P(A)·P(B|A)。

3. 全概率公式（由原因推结果）

当事件 B 的发生有多个互斥的"原因" A₁, A₂, …, A_n（它们互斥、且并起来是全集），求 B 的总概率：

口诀：先分类（每个原因的概率），再算每类下 B 的条件概率，加权求和。

4. 贝叶斯公式（由结果反推原因）

已知 B 已经发生了，反过来问"它是由原因 A_k 引起的概率"：

分母 P(B) 就是上面全概率公式的结果。所以贝叶斯永远是全概率的下一步——先用全概率算出 P(B)，再拿其中一项除以它。

5. 解题模板（背下来）

1. 设原因事件 A₁…A_n（"由谁引起"），设结果事件 B（"发生了什么"）。
2. 从题里抄出 P(A_i)（各原因的概率）和 P(B|A_i)（每个原因下结果发生的概率）。
3. 第(1)问通常问 P(B) → 套全概率公式。
4. 第(2)问通常问"已知结果，求是某原因" → 套贝叶斯，分母用第(1)问的 P(B)。

真题精练

真题①（2022-2023 计算题，10 分）· 全概率 + 贝叶斯

某直播平台甲、乙、丙三位主播上直播的概率分别为 25%、35%、40%，他们介绍同一款产品，销售额达到十万元的概率分别为 5%、4%、2%。 (1) 今天有一位主播介绍该产品，求销售额达到十万元的概率； (2) 已知此产品今日销售额达到十万元，求今日产品被甲推销的概率（结果保留四位小数）。

第 1 步：设事件。 设 A=甲上直播、B=乙上直播、C=丙上直播（这三个是互斥原因），D=销售额达十万（结果）。

第 2 步：抄数据。

第 3 步：(1) 用全概率公式求 P(D)。

即 P(D) = 3.45%。

第 4 步：(2) 用贝叶斯公式求 P(A|D)。 已知达到十万（D 发生），问是甲（A）的概率：

即 被甲推销的概率约 36.23%。

套路复盘：第(1)问全概率，第(2)问贝叶斯（分子是第(1)问里"甲"那一项，分母是第(1)问的总和）。所有全概率+贝叶斯大题都是这个流程，换的只是背景故事。

真题②（2008-2009，8 分）· 经典"假阳性"贝叶斯

一项血液化验有 95% 的把握把患病的人鉴定出来，但对健康人也有 1% 的"伪阳性"（健康人误诊患病）。这种病患者占人口的 0.5%。(1) 某人化验结果为阳性的概率？(2) 若某人化验为阳性，求他确实患病的概率。

设 A=患病（P(A)=0.005，故 P(A̅)=0.995），B=化验阳性，P(B|A)=0.95，P(B|A̅)=0.01。

(1) 全概率：

(2) 贝叶斯：

反直觉的点：化验"准确率 95%"，但阳性者真患病的概率只有约 32%。原因是健康人基数太大（99.5%），1% 的误诊也贡献了大量假阳性。这正是贝叶斯的经典考点。

选择题即时练

M2　一维随机变量及其分布

★★★★ 每套约 1 道大题，固定套路：连续型密度"求常数 → 写分布函数 F(x) → 求 E(X)/D(X)"。选择填空考分布函数性质、正态对称性、常见分布。

知识点讲解

1. 分布函数 F(x)

定义：F(x) = P{X ≤ x}（注意是"≤"，小于等于）。四条性质：

• 单调不减；F(−∞)=0，F(+∞)=1；
• 右连续；
• 离散型 F(x) 是阶梯函数；连续型 F(x) 连续。

由 F(x) 求概率：P{a < X ≤ b} = F(b) − F(a)；P{X=a}=F(a)−F(a−0)（跳跃高度）。

2. 连续型随机变量与密度 f(x)

• 归一化条件（求待定常数全靠它）： ∫_−∞^+∞ f(x) dx = 1
• 密度与分布函数：F(x)=∫_−∞^x f(t) dt，反过来 f(x)=F′(x)。
• 求区间概率：P{a<X<b}=∫_a^b f(x) dx（连续型，端点取不取无所谓）。

3. 连续型"三连问"解题模板

题目给一个含待定常数的分段密度 f(x)，几乎总是依次问：

1. 求常数：用 ∫f(x)dx=1 列方程解出常数（有时还会给一个额外条件如 E(X)=1 或 P{0<X<1}=1/2 联立）。
2. 求分布函数 F(x)：分段积分。x 落在哪段，就把"从 −∞ 到 x"的密度积起来；要写成分段函数（每个区间一个表达式），别漏端点。
3. 求 E(X) / D(X)：E(X)=∫x·f(x)dx；D(X)=E(X²)−[E(X)]²，其中 E(X²)=∫x²·f(x)dx。

4. 正态分布的对称性（选择填空高频）

X ~ N(μ,σ²)，标准化 Z=(X−μ)/σ ~ N(0,1)，用标准正态分布函数 Φ。

• 对称性：Φ(−x)=1−Φ(x)；P{X<μ}=0.5。
• P{|X−μ|<σ}、P{X<μ−σ} 这类要先标准化再查 Φ 表 / 用对称性。

真题精练

真题①（2014-2015，10 分）· 连续密度三连问

设 X 的密度 f(x) = Cx³（0<x<1），其它为 0。(1) 求常数 C；(2) 求分布函数 F(x)；(3) 求 E(X)。

(1) 归一化求 C：

(2) 分段写 F(x)： 分三段。

• x ≤ 0 时 F(x)=0；
• 0 < x < 1 时 F(x)=∫₀^x 4t³ dt = x⁴；
• x ≥ 1 时 F(x)=1。

(3) 求期望：

真题②（2015-2016，10 分）· 由分布函数定常数（指数分布）

设 X 的分布函数 F(x) = A + Be^−λx（x>0），0（x≤0），λ>0 为常数。(1) 求 A、B；(2) 求 P{|X|<1}；(3) 求密度 f(x)。

(1) 用两条性质定常数：

• F(+∞)=1：x→+∞ 时 e^−λx→0，故 A=1；
• 右连续（在 x=0 处衔接 0）：F(0⁺)=A+B=0，故 B=−1。

所以 F(x)=1−e^−λx（x>0）——这正是指数分布的分布函数。

(2) P{|X|<1}=P{−1<X<1}=F(1)−F(−1)=(1−e^−λ) − 0 = 1−e^−λ。

(3) 求导得密度：f(x)=F′(x)=λe^−λx（x>0），0（x≤0）。

选择题即时练

M3　随机变量函数的分布

★★★★ 每套约 1 道，稳定送分题。已知 X 的分布，求 Y=g(X) 的分布（密度）。首选"分布函数法"，一招通杀。

知识点讲解

分布函数法（万能，建议只记这一种）

求 Y=g(X) 的密度 f_Y(y)，三步：

1. 写 Y 的分布函数：F_Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，把不等式 g(X)≤y 解成 X 的范围。
2. 化成 X 的分布函数 / 积分：用已知的 f_X 或 F_X 表示出来。
3. 求导：f_Y(y)=F_Y′(y)。别忘了写 y 的取值范围，范围外为 0。

关键动作是确定 y 的有效范围：先看 X 的取值范围经过 y=g(x) 映射后，y 能取到哪些值。

公式法（g 单调时可用，作为加速）

若 y=g(x) 单调、有反函数 x=h(y)，则 f_Y(y)=f_X(h(y))·|h′(y)|。不单调（如 Y=X²）就老老实实用分布函数法。

真题精练

真题①（2014-2015，10 分）· Y=X²（不单调，必用分布函数法）

X 的密度 f(x)=e^−x（x>0），0（其它），求 Y=X² 的密度。

因为 X>0，所以 Y=X²>0，且在 X>0 上 y=x² 单调增、反函数 x=√y。

分布函数法： 当 y>0，

求导（对 y）：

y≤0 时 f_Y(y)=0。

真题②（2011-2012，10 分）· Y=e^X（X 均匀，单调可用公式法）

X ~ U(0,1)，即 f_X(x)=1（0<x<1）。求 Y=e^X 的密度。

X∈(0,1) ⟹ Y=e^X∈(1, e)。y=e^x 单调增，反函数 x=ln y，h′(y)=1/y。

范围外为 0。

真题里 Y=g(X) 出现过 X²、√X、X³、∛X、e^X、sinX、lnX、2X+4 等。方法都一样：分布函数法三步，单调时才偷懒用公式法。

选择题即时练

M4　多维随机变量

★★★★★ 全卷最高产，每套 1–3 道大题。核心套路：求常数 → 边缘分布 → 独立性判断 → E(XY)；以及 Z=X+Y 的分布、max/min 的分布。这是拉开分数的关键模块，务必练熟。

知识点讲解

1. 联合分布与边缘分布

离散型：联合分布律 P{X=x_i, Y=y_j}=p_ij，列成表。边缘分布 = 把表按行/按列求和：

• X 的边缘：P{X=x_i} = Σ_j p_ij（该行所有数相加）；
• Y 的边缘：P{Y=y_j} = Σ_i p_ij（该列所有数相加）。

连续型：联合密度 f(x,y)，边缘密度 = 对另一个变量积分掉：

⚠️ 积分时要根据 f 的非零区域确定 y（或 x）的积分上下限——这是最容易错的地方。

2. 独立性判断（必考）

X、Y 独立 ⟺ 联合 = 边缘相乘：

• 离散：对所有 i,j 都有 p_ij = P{X=x_i}·P{Y=y_j}；
• 连续：f(x,y) = f_X(x)·f_Y(y) 对几乎所有 (x,y) 成立。

判不独立的快捷办法：只要找到一个 (i,j) 使 p_ij ≠ P{X=x_i}P{Y=y_j}，就立刻断定不独立（比如某个联合概率是 0，但两个边缘都不为 0）。连续型若非零区域不是矩形（如 0<y<x），通常不独立。

3. E(XY) 与期望

X、Y 独立时 E(XY)=E(X)E(Y)（反之不一定）。

4. Z = X + Y 的分布（卷积）

X、Y 独立时，Z=X+Y 的密度用卷积公式：

实操要点：确定被积函数同时非零的 x 范围（f_X(x)≠0 且 f_Y(z−x)≠0），按 z 分段。二维均匀分布则直接在区域上积分更快。

5. max / min 的分布

X、Y 独立，分布函数分别 F_X、F_Y：

• M=max{X,Y}：F_M(z)=F_X(z)·F_Y(z)（两个都 ≤ z）。
• N=min{X,Y}：F_N(z)=1−[1−F_X(z)]·[1−F_Y(z)]（用对立，两个都 > z 的补）。
• 同分布时：F_max(z)=[F(z)]²，F_min(z)=1−[1−F(z)]²。
• 常考结论：独立指数分布的 min 仍是指数分布（参数相加）。

6. 重要事实

两个独立正态之和仍是正态：X~N(μ₁,σ₁²)、Y~N(μ₂,σ₂²) 独立 ⟹ X+Y ~ N(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²)。独立泊松之和仍泊松（参数相加）。

真题精练

真题①（2022-2023，10 分）· 二维连续型综合（求边缘+独立+期望）

二维连续型 (X,Y) 联合密度 f(x,y)=8xy（0<y<x<1），0（其它）。求：(1) X、Y 的边缘密度；(2) 判断独立性并说明理由；(3) E(X)。

先看清积分区域：0<y<x<1，是单位正方形里 y<x 的那个三角形（不是矩形！这一点决定了不独立）。

(1) 边缘密度。

f_X(x)：固定 x（0<x<1），y 从 0 到 x 积分：

f_Y(y)：固定 y（0<y<1），x 从 y 到 1 积分：

(2) 独立性。 算乘积 f_X(x)·f_Y(y)=4x³·4y(1−y²)=16x³y(1−y²)，显然 ≠ 8xy=f(x,y)。所以 X、Y 不独立。（本质原因：非零区域是三角形 0<y<x，不是矩形，X 的范围依赖 Y。）

(3) E(X)。 用边缘密度算：

真题②（2018-2019，10 分）· 二维连续（含可分离=独立的对照）

(X,Y) 联合密度 f(x,y)=Ce^−(3x+y)（x>0,y>0），0（其它）。求：(1) C；(2) 边缘密度；(3) 是否独立。

(1) 归一化：∬f=C·∫₀^∞e^−3xdx·∫₀^∞e^−ydy=C·(1/3)·1=1 ⟹ C=3。

(2) f_X(x)=∫₀^∞3e^−3xe^−ydy=3e^−3x（x>0）；f_Y(y)=∫₀^∞3e^−3xe^−ydx=e^−y（y>0）。

(3) f_X(x)·f_Y(y)=3e^−3x·e^−y=3e^−(3x+y)=f(x,y)，相等，所以独立。

对照真题①和②：①区域是三角形 → 不独立；②区域是矩形(整个第一象限)且密度能拆成"只含 x 的×只含 y 的" → 独立。判独立先看区域形状，再看能否分离变量。

真题③（2018-2019，10 分）· Z=X+Y 卷积

X ~ U(0,1)，Y 与 X 独立且服从参数 1 的指数分布，求 Z=X+Y 的密度。

f_X(x)=1（0<x<1），f_Y(y)=e^−y（y>0）。卷积 f_Z(z)=∫f_X(x)f_Y(z−x)dx，要求 0<x<1 且 z−x>0（即 x<z）。

• z<0：f_Z(z)=0；
• 0≤z<1：x 从 0 到 z，f_Z(z)=∫₀^ze^−(z−x)dx=1−e^−z；
• z≥1：x 从 0 到 1，f_Z(z)=∫₀¹e^−(z−x)dx=e^1−z−e^−z。

卷积题的难点全在分段确定积分限，画一下 x 的可行区间 [max(0,?), min(1,z)] 就清楚了。

选择题即时练

M5　数字特征（期望·方差·协方差·相关系数）

★★★ 常作为 M4 大题的子问，也是选择填空的常客。重点是 D(aX±bY) 的展开、协方差与相关系数。

知识点讲解

1. 期望与方差的公式

• 期望：离散 E(X)=Σx_kp_k；连续 E(X)=∫x f(x)dx。
• 函数期望（不用先求 Y 的分布）：E(g(X))=Σg(x_k)p_k 或 ∫g(x)f(x)dx。
• 方差： D(X) = E(X²) − [E(X)]² 这是算方差的主力公式。
• 线性：E(aX+b)=aE(X)+b；D(aX+b)=a²D(X)（常数 b 不影响方差）。

2. 协方差与相关系数

• 协方差：Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)。
• 方差和公式： D(X±Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(X,Y)
• X、Y 独立或不相关时：D(X±Y)=D(X)+D(Y)，且 Cov=0。
• 相关系数： ρ_XY = Cov(X,Y) / √(D(X)D(Y))　满足 |ρ|≤1。
• ρ=±1 ⟺ X、Y 几乎线性相关；ρ=0 称不相关。
• 独立 ⟹ 不相关（ρ=0）；但不相关 ⇏ 独立。

3. 反求协方差的常用变形

由 D(X+Y) 和 D(X−Y) 反求 Cov：两式相减得

真题精练

真题①（2017-2018 填空）· 由 D(X±Y) 反求协方差

已知 D(X+Y)=36，D(X−Y)=24，求 Cov(X,Y)。

真题②（2022-2023 选择）· 相关系数

D(X)=9，D(Y)=16，D(X+Y)=49，求相关系数 ρ_XY。

先求 Cov：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov ⟹ 49=9+16+2Cov ⟹ Cov=12。

ρ=1，说明 X、Y 完全正线性相关。

选择题即时练

M6　大数定律与中心极限定理

★★ 几乎只出现在选择/填空。会用切比雪夫不等式估概率、会用中心极限定理做正态近似即可。

知识点讲解

1. 切比雪夫不等式（估概率上下界）

对任意随机变量 X（期望 μ、方差 σ²）和任意 ε>0：

用途：不知道具体分布，只知道期望和方差，估算"偏离均值"的概率界。

2. 中心极限定理（CLT）

n 个独立同分布随机变量之和（或均值），当 n 较大时近似服从正态分布：

用法：把和标准化成 (ΣX_i − nμ)/√(nσ²)，再查 Φ 表。棣莫弗-拉普拉斯定理是其特例：二项 B(n,p) 当 n 大时近似 N(np, np(1−p))。

真题套路：给"n 个独立同分布、均值方差已知"，问"和落在某范围的概率"，标准化后用 Φ。若是泊松/二项的大量求和，常出现"恰好对称 → 概率 ≈ 0.5"的巧解。

真题精练

真题（2022-2023 选择）· 中心极限定理

X₁,…,X₁₀₀ 独立且均服从参数为 2 的泊松分布，由中心极限定理求 P{Σ_i=1¹⁰⁰ X_i < 200}。

泊松(2)：μ=2、σ²=2。和的均值 nμ=100×2=200，方差 nσ²=200。标准化后阈值 200 恰好等于均值：

巧点：阈值=均值时，正态对称，概率直接是 0.5，不用查表。

选择题即时练

M7　数理统计基本概念（抽样分布）

★★ 选择填空为主。重点是辨认统计量服从 χ²、t、还是 F 分布。

知识点讲解

1. 总体、样本、统计量

• 总体：研究对象全体；样本 X₁…X_n：独立同总体分布；统计量：样本的函数（不含未知参数），如 X̄、S²。
• 样本均值 X̄=(1/n)ΣX_i；样本方差 S²=[1/(n−1)]Σ(X_i−X̄)²（分母 n−1）。

2. 三大抽样分布（设 X_i 独立同 N(0,1)）

• χ²(n) 卡方分布：n 个独立标准正态的平方和 ΣX_i² ~ χ²(n)。E=n，D=2n。
• t(n) 分布：标准正态 ÷ √(独立卡方/自由度)，即 t = X / √(χ²(n)/n) ~ t(n)。形似正态但尾巴更厚。
• F(n₁,n₂) 分布：两个独立卡方各除以自由度再相除，F=(χ²₁/n₁)/(χ²₂/n₂)。

3. 正态总体的三个标准结论（检验的基础）

辨认口诀：纯平方和 → χ²；正态比根号下卡方 → t；两卡方相比 → F。看见自由度怎么搭，就能对上号。

选择题即时练

M8　参数估计

★★★★★ 每套必有 1 道大题，几乎全是极大似然估计（MLE）。这是全卷"模板化最强"的题——背熟五步，任何分布都能套。选择填空另考矩估计、无偏性/有效性、区间估计。

知识点讲解

1. 极大似然估计（MLE）五步模板 ⭐

给一个含未知参数 θ 的分布（密度 f(x;θ) 或分布律 p(x;θ)），样本 x₁…x_n，求 θ 的极大似然估计：

1. 写似然函数（各样本概率连乘）： L(θ) = ∏_i=1ⁿ f(x_i; θ)
2. 取对数（把连乘变成连加，好求导）：ln L(θ) = Σ ln f(x_i;θ)。
3. 对 θ 求导，令导数为 0：d(ln L)/dθ = 0，得"似然方程"。
4. 解方程得 θ̂。
5. 写成估计量（把 x_i 换成大写 X_i），需要时代入数据算估计值。

2. 三个必会的 MLE 结果（直接记结论，考场上能省时间）

规律：指数分布估的是 1/X̄，泊松和正态均值估的都是 X̄。本校真题这三类占绝大多数。

3. 矩估计（选择填空常考）

用样本矩代替总体矩：令 E(X)=X̄（一阶矩），解出参数。例：

• 泊松 E(X)=λ ⟹ 矩估计 λ̂=X̄；
• 均匀 U(0,θ)：E(X)=θ/2 ⟹ θ̂=2X̄。

4. 估计量的评价

• 无偏性：E(θ̂)=θ（估计没有系统偏差）。样本均值 X̄ 是 μ 的无偏估计；S²（分母 n−1）是 σ² 的无偏估计。
• 有效性：两个都无偏时，方差更小的更有效。形如 θ̂=c₁X₁+c₂X₂+c₃X₃，无偏要求 c₁+c₂+c₃=1，最有效在 c₁=c₂=c₃=1/3（系数均等时方差最小）。

5. 区间估计（正态均值，σ² 已知）

μ 的置信度 1−α 的置信区间：

置信度 0.95 时 u_0.025=1.96，置信度 0.99 时 u_0.005=2.575。

真题精练

真题①（2022-2023，10 分）· 指数分布 MLE（带数值）

某款手机寿命 X 服从参数 λ 的指数分布，对 5 部手机跟踪得寿命（年）：3, 1, 2, 3, 1。求 λ 的极大似然估计值。

第 1 步 似然函数（f(x;λ)=λe^−λx，x>0）：

第 2 步 取对数：ln L = n ln λ − λ Σx_i。

第 3 步 求导令零：

第 4 步 解出：λ̂ = n / Σx_i = 1/X̄。

第 5 步 代数据：n=5，Σx_i=3+1+2+3+1=10，所以

真题②（2018-2019，10 分）· 泊松分布 MLE

X₁,…,X_n 取自总体 X ~ P(λ)（泊松），求 λ 的极大似然估计量。

分布律 P{X=k}=λ^ke^−λ/k!。

取对数：ln L = (Σx_i) ln λ − nλ − ln(∏x_i!)。求导令零：Σx_i/λ − n = 0 ⟹ λ̂ = X̄。

两题对照：指数 → 1/X̄，泊松 → X̄。流程一字不差，区别只在 f 的形式。考场上把五步写全就有过程分。

选择题即时练

M9　假设检验

★★★★★ 每套必有 1 道大题，单正态总体居多。和 MLE 一样是"填空式"模板题——把 H₀、统计量、拒绝域、结论四样写全就有分。

知识点讲解

1. 检验四步模板 ⭐

1. 提假设：原假设 H₀:μ=μ₀（要检验的等式），备择 H₁:μ≠μ₀（双边）。
2. 选统计量（看总体方差是否已知）：
• σ² 已知 → U 检验：U=(X̄−μ₀)/(σ/√n) ~ N(0,1)；
• σ² 未知 → t 检验：t=(X̄−μ₀)/(S/√n) ~ t(n−1)；
• 检验方差 → χ² 检验：χ²=(n−1)S²/σ₀² ~ χ²(n−1)。
3. 定拒绝域（双边，显著性水平 α）：
• U 检验：|U| > u_α/2（如 α=0.05 时 1.96）；
• t 检验：|t| > t_α/2(n−1)；
• χ² 检验：χ² > χ²_α/2(n−1) 或 χ² < χ²_1−α/2(n−1)。
4. 算统计量值，下结论：落入拒绝域 → 拒绝 H₀；否则接受 H₀。

怎么选统计量？一句话：测均值看 σ² 知不知道（知道用 U、不知道用 t），测方差用 χ²。

2. 两类错误（选择填空必考）

• 第一类错误（弃真）：H₀ 本来是真的，却拒绝了它，犯错概率 = α。
• 第二类错误（取伪）：H₀ 本来是假的，却接受了它。
• 记忆："取伪"是第二类错误（这是真题反复考的填空）。

真题精练

真题①（2022-2023，10 分）· σ² 已知，U 检验

ChatGPT 生成的文章单词长度 X ~ N(μ,1)，收集 100 个单词，平均长度 5.8，在 α=0.05 下，"平均长度为 6"是否成立？

第 1 步 提假设：H₀:μ=6，H₁:μ≠6。

第 2 步 选统计量：σ²=1 已知 → U 检验。

第 3 步 拒绝域：α=0.05，|U| > u_0.025=1.96。

第 4 步 结论：|U|=2 > 1.96，落入拒绝域，拒绝 H₀，即"平均长度为 6"不成立。

真题②（2010-2011，10 分）· σ² 未知，t 检验

铁水含碳量 X ~ N(μ,σ²)，σ² 未知，测 9 炉得 x̄=4.49，S=0.0676，问能否认为均值 μ=4.53？（α=0.05，t_0.025(8)=2.3060）

提假设：H₀:μ=4.53，H₁:μ≠4.53。

选统计量（σ² 未知 → t 检验）：

拒绝域：|t| > t_0.025(8)=2.3060。

结论：|t|=1.775 < 2.3060，未落入拒绝域，接受 H₀，可认为含碳量均值为 4.53。

真题里 σ² 未知的 t 检验最多（奶粉、食盐、钢丝、水泥、铁水…），近年情境题转向 σ² 已知的 U 检验（早稻、节目时长、潜伏期、单词长度）。判断用 t 还是 U，就看题里 σ²/标准差给没给"总体的"。

选择题即时练

考前冲刺 · 混合自测

把九个模块混在一起练，模拟考场上"先认题型、再调套路"的过程。每题点一下看解析。

结语 · 考前最后叮嘱

1. 大题按母题套模板：看到"几个原因导致某结果"就是全概率+贝叶斯；看到含参数的密度+样本就是极大似然；看到"是否等于某值/α"就是假设检验。先认型，再套步骤。
2. 送分题别丢：一维密度三连问、Y=g(X) 函数分布、二维边缘+独立性，这些步骤固定，把过程写全。
3. 选择填空抓公式：D(aX±bY) 系数要平方、相关系数公式、抽样分布辨认、两类错误，这些背熟就是稳拿分。
4. 算不动就先写框架：哪怕积分算错，把"似然函数→取对数→求导=0"或"H₀→统计量→拒绝域→结论"的骨架写全，过程分照拿。
5. 任何一步卡住，点右下角 💬 问 DeepSeek 答疑助手——它会用公式和表格给你讲清楚。

这份资料的所有题目和套路都来自 2004–2023 的 18 套真题。把每个模块的"真题精练"亲手重写一遍，比看十遍都管用。祝考试顺利！